Ал - б и ру н й - см. Бируни. Ал-газалй—см. Газ'али.

АЛГЕБРА ЛОГИКИ —одна из осн. частей математиче­ской логики, основанная на применении алгебраических методов к логике. Возникнув в сер. 19 в. в трудах Буля и развиваясь затем в работах Джевонса, Шредера, Пирса, Порецкого и др., алгебра логики имела своим предметом классы (как объемы понятий), соотношения между клас­сиками по объему и связанные с этим операции над ними. Позднее, в связи с появлением в 70-х гг. 19 в. множеств теории, поглотившей часть этих задач, предмет алгебры логики значительно изменился. Основным ее предметом стали высказывания (суждения, предложения), рассматри­ваемые со стороны их логических значений (истина, ложь, бессмыслица и т. п.), и логические операции над ними.

В основе обычной, т. н. классической алгебры логики лежит аб­стракция высказывания как величины, имеющей одно (и только одно!) из двух значений: «истина» или «ложь» (короче: И, Л), или могущей принимать оба эти значения (но не одновременно). В пер­вом из этих случаев имеем индивидуальное высказывание (выска­зывание в узком, наиболее принятом смысле этого слова), во втором—высказывание-функцию. Примеры высказываний: «2 2= 4», «0<0», «Сократ—человек», «0=1», «2-2=5», «х²^», «г—чело­век», «Если х=у, то y-(U, «Если х=2, то х²=4», «х равняется у или х не равняется у. Первые три высказывания имеют значение И (т. е. истинны), 4-е и 5-е—значение Л (т. е. ложны), 6-е, 7-е, 8-е — высказывания-функции (если, напр., значениями буквенных пере­менных х к у могут быть целые числа, а переменной г—живые существа), 9-е и 10-е имеют значение И (при всех возможных значениях переменных х и у). Последние три из этих высказываний являются сложными, в отличие от предшествующих им простых. Абстракция в алгебре логики идет дальше. Все истинные вы­сказывания отождествляются между собой, т. к. истинное выска­зывание не отличается от другого истинного высказывания по значению (от других сторон высказываний в алгебре логики от­влекаются). Ложные высказывания тоже отождествляются. При рассмотрении же высказываний-функций в алгебре логики обычно отвлекаются от рассмотрения зависимости их от иных переменных, кроме таких, значениями которых тоже являются высказывания, вводя для их рассмотрения буквенные переменные, которые на­зывают переменными высказываниями. Таковыми являются буквы А, В, С, ..., А\, Аг, Аз, ... и т. п. (при этом выбор букв —вопрос не существа, а соглашения) при условии, что они играют роль переменных, значениями которых могут быть всевозможные ин­дивидуальные высказывания, т. е., в силу упомянутых абстракций, «константы» И и Л. Кроме простых высказываний, обозначаемых отдельными буквами

A, В... или И, Л, рассматриваются также сложные высказывания — результат соединения высказываний связками или отрицания их (соответствующего частице «не»). Сложные высказывания рассмат­ривают как функции от входящих в них буквенных переменных Л,

B, С к т. д. Так появляется понятие функции алгебры логики — функции от аргументов, являющихся переменными высказывани­ями, т. е. принимающих значения И, Л, которая (функция) может принимать тоже лишь эти значения.

Вводятся алгебраич. операции над высказываниями: конъюнкция А В (читается А и В», другие обозначения: АВ, А&В, АлВ; другие названия: логическое умножение, булево умножение), дизъюнкция AvB (читается «А или В»; другое обозначение: А+В; другие назва­ния: логическое сложение, булево сложение), импликация А-лВ (читается: «Если А, то В» или «А влечет В», или «А имплицирует Во, или «Из А следует £»; другое обозначение: Az^B; другое название: логическое следование), эквиваленция А~В (читается: *А эквива­лентно В» или «А равнозначно В», или «А, если и только если й»; другие обозначения: А=В, А*->В, А=В; другие названия: эквивалент­ность, равнозначность, равносильность), отрицание А (читается: «не А», или «А ложно», или «неверно, что А», или «отрицание А»; другие обозначения: -u4, ~A, Л; другое название: инверсия), а так­же иногда и другие операции.

Одной из важных сторон формализации, принимаемой в алгебре логики, является то, что знаками этих операций (т. е. по смыслу, соответствующими им связками) можно соединять любые выска­зывания, без ограничения, в том числе и те, которые сами являются сложными.

При этом удается точно и строго описать класс всех рассматрива­емых выражений алгебры логики. В данном случае он состоит из констант И и Л, переменных А, В... и всех тех выражений, которые получаются из них путем конечного числа соединений знаками «•», «v», «-»» и «~» и отрицаний.

Это связано с требованием, чтобы операции задавались таблично как функции и значение сложного высказывания зависело только от значений составляющих его простых высказываний. Основная суть алгебры логики как системы методов состоит в использовании преобразований высказываний на основе алгебраических законов*

которые имеют место для операций над высказываниями. Эти законы чаще всего имеют вид тождеств, т. е. равенств, верных при всех значениях переменных. Важную роль играют тождества: I. АВ=ВА, AvB=*BvA (законы коммутативности), II. (AB)C=A(BQ, (AvB)vC=Av(BvC) (законы ассоциативности);

III. А(А^В)-А, AvAB = А (законы поглощения);

IV. A(BvQ =• ABvAC (закон дистрибутивности); V. А-А=Л (закон противоречия);

VI. Av-A=J& (закон исключенного третьего). Эги тождества, устанавливаемые, напр., с помощью таблиц, позво­ляют получать другие тождества. Тождеств I—VI достаточно для того, чтобы из них по методу тождественных преобразований мож­но было вывести всякое (верное, конечно) тождество, левая и пра­вая части которого—выражения алгебры логики, состоящие из переменных А, В, .., констант И, Л и знаков «•», «v» *-» (не обязательно включая все из них). Добавление же тождеств VII A->B=-AvB, A~B=ABv-AS дает возможность выводить и любые тождества, содержащие также знаки «-*», «~». Тождества V, VI, VII показывают, что константы И и Л, имп­ликацию и эквивалентно, рассматривая их как функции, можно выразить через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. Имеет место теорема, гласящая, что всякая функция алгебры логики может быть представлена через эти три операции, т. е. записана в виде выражения, содержащего лишь знаки этих операций и бук­венные переменные. Именно, любую функцию Ф(А,, А_ъ ... , Д) можно записать как дизъюнкцию всех выражений вида

Ф(я_ь а₂,....а„){А₁~а1)(А₁~а₁)...(А₁₁~а_щ),

где о/, пг, .-,а„—набор из значений И, Л. Заменяя в этой дизъюнк­ции выражения Л,~И на А,, а А,~Л—на -А,, а также стирая «ко­эффициенты» Ф(я_ь а_г.....а„), равные И (по закону ИЛ=Л) и от­брасывая члены с «коэффициентами», равными Л (по законам (ЛА-Л, ЗЬ/А "* А), мы и получим (если функция не есть константа) то выражение, о котором говорится в теореме. Дизъюнктивной нормальной формой (днф) называется выражение, которое есть буква И или Л или имеет mmAivAzv... vA,, где каждый член А, является либо буквенной переменной, либо ее отрицанием, либо конъюнкцией таковых, причем s не обязательно отлично от 1, т. е. знаков «v» может и не быть. Днф называется совершенной, если она есть И или Л или в каждом члене содержит ровно по одному разу все имеющиеся в ней буквы (переменные) и не имеет одинаковых членов. Всякое выражение алгебры логики можно привести к днф. А всякую днф можно привести к совершенной днф, «домножая» члены на недостающие буквы (по закону A=ABvA-iB) и ликвидируя повторения букв в членах (по законам АА~А, А-А^Л, Л/4=Л, ЛчА=>А) и повторения членов (по закону AvA=*A).

Приведение к совершенной днф позволяет по любым двум данным выражениям А и В решить вопрос о том, одну ли и ту же функцию они выражают, т. е. верно ли тождество А=В. Важную роль играет т. н. сокращенная днф. Последнюю можно определить как такую днф, в к-рой 1) нет повторений букв ни в одном члене, 2) нет таких пар членов А, и AJ, что всякий множитель из А, имеется и в Д. и 3) для всяких двух таких членов, из к-рых один содержит множителем некоторую букву, а другой— отрицание той же буквы (при условии, что другой буквы, для которой это имеет место, в данной паре членов нет), имеется (в этой же днф) член, равный конъюнкции остальных множителей этих двух членов.

Кроме днф, употребляются также конъюнктивные нормальные формы (кнф). Это такие выражения, к-рые можно получить из днф путем замены в них знаков «v» на «■», а «•» на «v». Преобразованием двойственности называется такое преобразова­ние выражения алгебры логики, при котором в этом выражении знаки всех операций заменяются на знаки двойственных им опера­ций, а константы: И на Л, Л на И; причем операция (или функция) Ф называется двойственной для операции ^XV, если таблица, задаю­щая Ф, получается из таблицы, задающей Ч", путем замены в ней всюду И на Л, а Л на И (имеется в виду одновременная замена и значений функции, и значений ее аргументов). Если Ф двой-

ственная Т, а¥ двойственная X, то Ф=Х. Напр., конъюнкция и дизъюнкция двойственны между собой, отрицание двойственно самому себе, константа И (как функция) двойственна константе

Л. Функция Ф(Л|, А₂,..., А„) двойственна функции ^у¥{А_и М.....Д,),

если, и только если, верно тождество

Совершенную кнф и сокращенную кнф можно определить как такие кнф, что двойственные им выражения есть соответственно совершенная днф и сокращенная днф. Совершенные и сокращен­ные днф и кнф можно использовать для решения задачи обзора всех гипотез и всех следствий данного выражения алгебры логики Причем под гипотезой выражения А алгебры логики естественно понимать такое выражение В, что В-*А тождественно истинно, а под следствием выражения А—такое выражение В, что А-*В тождественно истинно.

Еще один, часто употребляемый в алгебре логики шаг абстракции, состоит в отождествлении И с числом 1, а Л—с числом 0. Вводится операция А+В, задаваемая таблицей: 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1,1+1=0. Она называется сложением (точнее сложением по модулю 2; другое название: разделительная дизъюнкция; читается: «А плюс В», или А не эквивалентно В», или «Либо А, либо В»). Всякую функцию алгебры логики можно представить через ум­ножение (т. е. конъюнкцию), сложение и константу 1 (теорема Жегалкина). В частности, верны следующие тождества:

VIII. AvB=AB+A+B, -A=A+l

IX. А->В=АВ+А+\, А~В=А+В+1.

Обратные представления имеют вид X.

Тождества VIII позволяют «переводить» выражения «языка» конъ­юнкции, дизъюнкции и отрицания (КДО) на «язык» умножения, сложения и единицы (УСЕ), а тождества X—осуществлять обрат­ный «перевод».

Тождественные преобразования можно производить и на «языке» УСЕ. В основе их лежат следующие законы:

XI. АВ=ВА, А+В^В+А (законы коммутативности);

XII. (АВ)С*=A/(BC), (A+B)+C=A+(B+C) (ассоциативности);

XIII. A(B+Q=AB+AC (закон дистрибутивности);

XIV. АА=А, А+(В+В)=А

XV. А*1=A.

Этих тождеств достаточно для того, чтобы из них можно было вывести любое (верное) тождество, обе части которого суть вы­ражения «языка» УСЕ. А добавив к ним тождества VIII, мы сможем выводить и все тождества «языка» КДО.

Выражение «языка» УСЕ называется приведенным полиномом (п. п.), если оно есть 1+1 (т. е. нуль) или имеет видЛ,+Л₂+ ... +А„ где каждый член А§ есть либо 1, либо буквенная переменная, либо произведение последних, причем ни в одном члене нет никаких повторений букв, никакие два члена не одинаковы (в том же смысле, что и выше), a s не обязательно больше 1 (т. е. знаков «+» может не быть). Всякое выражение алгебры логики можно привес­ти к п. п. (теорема Жегалкина).

Кроме «языков» КДО и УСЕ существуют и другие «языки», об­ладающие тем свойством, что через операции (и константы) этих «языков» можно представить всякую функцию алгебры логики. Такие системы называются (функционально) полными. Примеры полных систем: а) конъюнкция и отрицание, б) дизъюнкция и от­рицание, в) импликация и отрицание, г) импликация и 0, д) ум­ножение, эквиваленция и 0, е) штрих ШеффераЛ|.8, ж) медиана (А, В, Q, [определение: (А, В, Q=ABvACvBQ, отрицание и 1, и) медиана, эквиваленция и сложение.

Иногда совершают еще один важный дальнейший шаг абстракции. Отвлекаются от табличного задания операций и от того, что значе­ниями буквенных переменных являются высказывания. Вместо этого допускаются различные интерпретации рассматриваемого «языка», состоящие из той или иной совокупности объектов (слу­жащих значениями буквенных переменных) и системы операций

нм объектами этого множества, удовлетворяющих тождествам из полной системы тождеств этого «языка».

«Язык» КДО в результате такого шага абстракции превращается в «язык» т. н. булевой алгебры, «язык» УСЕ —в «язык» т. н. булева кольца (с единицей), .«язык» конъюнкции и дизъюнкции—в «язык» т. н. дистрибутивной структуры.

Важным примером булевой алгебры является алгебра классов, в ко­торой роль элементов играют подмножества (классы) некоторого фиксированного множества (т. н. универсума) U, роль 0 играет пустое множество 0, роль 1 —само U, роль АB, AvB и -iA — теоретико-множеств. операции пересечения, объединения и допол­нения соответственно. Связь между алгеброй классов, алгеброй предикатов и алгеброй высказываний, этими тремя важнейшими интерпретациями абстрактной алгебры логики как «языка» булевой алгебры, состоит в следующем: первая переходит во вторую путем замены множеств (классов) их т. н. характеристическими предика­тами (т. е. множества Л—предикатом хеА, гласящим: «х принад­лежит множеству A>>), если при этом соответствующим образом преобразуются также операции и константы 0 и 1, а вторая перехо­дит в третью при подстановке во все предикаты на место их аргументов некоторого фиксированного их значения. Вернее, при таком переходе от алгебры классов к алгебре предикатов получается алгебра одноместных предикатов. Другим важным случаем явля­ется алгебра двуместных предикатов, называемых чаще отношени­ями. С ней тесно связана алгебра отношений, отличающаяся от нее только тем, что в последней, кроме трех операций булевой алгебры, имеются еще две.

Всякую булеву алгебру можно «переделать» в булево кольцо, опреде­лив операцию А+В согласно закону X (и отбросив операцию AvB). Напр., в случае алгебры множеств роль А+В играет т. н. симметри­ческая разность множеств А и В (состоящая из всех тех элементов универсума, которые принадлежат одному и только одному из множеств А или В). Обратно, всякое булево кольцо (с единицей) можно «переделать» в булеву алгебру. Понятия булевой алгебры и булева кольца связываются с именем Дж. Буля. Однако оформи­лись эти понятия (не говоря уже о терминах) значительно позже. Первые работы по алгебре логики были посвящены задачам: а) выражения логических соотношений между объемами понятий (со­ответственно высказываниями) в виде уравнений (равенств), б) построения алгоритмов решения логических уравнений и систем уравнений с целью автоматизировать способы извлечения из дан­ных посылок содержащейся в них (неявно) информации (того или иного рода).

В настоящее время алгебра логики развивается гл. о. под влиянием задач, встающих в области ее приложений. Она находит широкое применение в технике (особенно при решении задач, связанных с построением автоматов) и, наоборот, развивается сама под влия­нием запросов техники (задач автоматизации программирования, уменьшения числа элементов в устройствах релейного действия и др.). Важную роль играют приложения в теории электрических схем, включая первоначально, начиная с работ В. И. Шестакова и К. Шеннона (30—40-е гг. 20 в.), теорию релейно-контактных схем. Вопросы, касающиеся понятий самой алгебры логики, при­водят к проникновению в алгебру логики неалгебраических мето­дов (таких, как табличные, топологические, дескриптивные) и вследствие этого к постепенному выделению из алгебры логики самостоятельной области—теории функций алгебры логики (или иначе, теории булевых функции).

В случае более сложных схем, чем контактные, приходится часто отказываться от использования лишь обычной алгебры логики и рассматривать те или иные ее многозначные обобщения, отлич­ные от булевых алгебр и булевых колец (см. Многозначные логики). Другим направлением современного развития алгебры логики яв­ляется алгебраическая логика. Она интересна тем, что выдвигает и частично решает задачу построения алгебр неклассических логик, т. е. таких вариантов алгебры, логики, которые соответствуют нек­лассическим исчислениям высказываний.

Некоторые тенденции возможного дальнейшего развития алгебры логики как совокупности алгебраических методов логики намеча-

ются в связи с бурным развитием ряда областей как современной алгебры, так и математической логики. Одна из них связана с мощ­ным ростом теоретико-множественной алгебры, позволяя всякую операцию рассматривать как алгебраическую операцию. Такое рас­смотрение дает возможность охватить алгебраическими методами значительную часть современной математической логики (см. Ло­гика символическая).

Другая—связана с успехами теории алгоритмов, позволившей уточнить ряд алгоритмических проблем алгебры, и последовавшим решением некоторых из них. Тенденция эта состоит в объединении алгоритмической алгебры с самой теорией алгоритмов и попытках алгебраизации последней, т. е. построения алгебраической теории алгоритмов.

Эта постепенная алгебраизация все большего числа сторон матема­тической логики будет, по-видимому, содействовать наилучшему выделению и ее чисто логических сторон, для того чтобы изучать последние уже иными методами.

А. В. Кузнецов

Сокращенный вариант статьи: Алгебра логики.— В кн.: Философская энциклопедия. Т. 1. М.. 1960.

Как и предвидел А. Кузнецов, все большее прикладное значение приобретает теория булевых функций как само­стоятельная область, выделившаяся из алгебры логики. В результате пришли к понятию функциональной системы (Pn, С), где Рn есть множество всех функций n-значной логики (или множество всех функций счетнозначной логи­ки Р_а) с заданной на нем операцией суперпозиции С. Р_п обычно рассматривается как обобщение множества всех булевых функций Рг- Известна содержательная трактовка понятия функциональной системы ((Р„, Q выступает ее частным случаем), в основе которой лежит рассмотрение таких пар (Р, П), в которых Р есть множество отображе­ний, реализуемых управляющими системами из некоторо­го класса, a Q состоит из операции, используемой при построении новых управляющих систем из заданных. В свою очередь (Рг, С) есть эквивалент алгебры логики. Таким образом, от алгебры формул, изучаемой в алгебре логики, перешли к алгебре функций. И хотя именно алгеб­ра логики, т. е. классическая логика высказываний, лежит в основе проектирования микросхем для современной цифровой электронной техники, в том числе и для ком­пьютеров, подобные работы ведутся и на основе многознач­ных логик. В частности, для функционально полных (и некоторых других) многозначных систем был построен аналог совершенной днф.

Еще более важное предвидение А. Кузнецова связано с выделением алгебраической логики в одно из на­правлений современной алгебры логики. В первую очередь имеется в виду построение алгебр, соответствующих неклассическим логикам в том смысле, в каком булева алгебра соответствует классической логике высказываний (Rasiowa, 1974). Здесь существенным является также вопрос о построении алгебраической семантики, под которой понимается класс всех моделей некоторой ал­гебры, соответствующей логике L, поскольку посредством алгебраической семантики решаются такие металогиче­ские проблемы, как полнота L (относительно обще­значимости в классе всех моделей), разрешимость L и др. В итоге пришли к общему вопросу о том, какая логика алгебраически представима, т. е. имеет алгебраическую семантику, а какая нет. Ответ на этот вопрос дан в работе В. Блока и Д. Пигоцци (Blok, Pigozzi, 1989). Существенно, что современное развитие алгебраической

логики представляет собой систематическое применение методов и, главное, аппарата универсальной алгебры к си­мволической логике. Именно на это как на тенденцию возможного дальнейшего развития алгебры логики указы­вал А. Кузнецов, говоря о возможности «охватить алгебра­ическими методами значительную часть современной ма­тематической логики». Сегодня речь уже идет об алгебра­ическом охвате всей символической логики, и результаты здесь весьма значительны. К примеру, если Alg(L) обозна­чает класс алгебр, который соотносится с некоторой логи­кой L (если L есть классич. логика высказываний, то Alg(L) есть класс булевых алгебр), можно формулировать теоре­мы, утверждающие, что L имеет определенное логическое свойство тогда и только тогда (т. т. т.), когда Alg(L) имеет определенное алгебраическое свойство. Это позволяет дать алгебраическую характеризацию таких логических свойств, как полнота, наличие теоремы дедукции, компактность, разрешимость, интерполяционность Крейга, истинность формул в модели и т. д. Так, первые два свойства принима­ют следующий вид: L допускает строго полную гильбертов-скую аксиоматизацию (Гн-А т. т. т., когда Т>=А) т.т.т., когда Alg(L) есть финитно аксиоматизируемое квази-мно-гообразие; L допускает теорему дедукции (см. Дедукции теорема) т.т.т., когда Alg(L) имеет эквационально опреде­лимые главные конгруэнции.

Вообще, алгебраическая логика является хорошим инст­рументом не только для выяснения взаимоотношения между различными логическими системами, но и для уточ­нения статуса логики.

Лит.: Жегалкин И. И. Арифметизация символической логики.— «Матем. сб.», т. 35. Вып. 3—4. М., 1928; Яновская С. А. Основания математики и математическая логика.—В кн.: Математика в СССР за тридцать лет (1917—1947). М.—Л., 1948; Она же. Математиче­ская логика и основания математики.—В кн.: Математика в СССР за сорок лет (1917—1957), т. 1. М., 1959; Сб. статей по математиче­ской логике и ее приложениям к некоторым вопросам кибернети­ки, М, 1958; Войшвимо Е. К. Метод упрощения форм выражения функций истинности.—«Философские науки», 1958, № 2; Кузне­цов А. В. Алгоритмы как операции в алгебраических системах.— «Успехи математических наук», 1958, т. 13, в. 3, Новиков П. С. Элементы математической логики. М., 1973; Биркгоф Г. Теория решеток. М., 1952; Владимиров Д. А. Булевы алгебры. 1969; Гиндикш С. Г. Алгебра логики, в задачах. М., 1972; Кудрявцев В. Б. О функ­циональных системах. М., 1981; Яблонский С. В., Гавршюв Г. П., Кудрявцев В. Б. Функции алгебры логики и классы Поста. М., 1966; Фридлендер Б. И., Ревякин А. М. Булева алгебра и ее применение в задачах электроники: учебное пособие. М., 1993; Algebraic logic and the methodology of applying it.—CSLI Publications, 1995; Anderka H., Nemeti I., Sain I. Algebraic Logic— Handbook of philosophical logic (2 ed.), forthcoming; Blok W. J., Pigozzi D. Algebraizable logics (monograph).—Memoirs of the American Mathematical Society, 1989, № 396; Font J. M., Jansana R. A general algebraic semantics for sentential logics. В., 1996; Handbook of Boolean algebras, Ed. J. D. Monk with the coop. R. Bennet, v. I—III. Amst., 1989; Nemeti I, Anderka H. General algebraic logic: a perspective on «What is logic».— What is logical system? Oxf., 1994; N. Y., 1995; Rasiowa H. An algebraic approach to non-classical logics. Warsz., 1974.

А. С. Карпенко

АЛГОРИТМ, алгорифм (от лат. algorithmi, algorismus, no имени арабского ученого 9 в. ал-Хорезми)—точное пред­писание, задающее потенциально осуществимый (см. Аб­стракция потенциальной осуществимости) вычислитель­ный процесс (процесс исполнения алгоритма), ведущий от

исходных данных, которые могут варьировать, к конеч­ному результату. Овладение общим методом решения точ­но поставленной задачи по сути дела означает знание алгоритма. Так, умение складывать два числа означает владение алгоритмом сложения чисел (напр., сложением столбиком, которому учат в школе). Необходимо различать алгоритм и алгоритмическое предписание, имеющее внеш­нюю форму алгоритма, но включающее не до конца опре­деленные шаги. Так, для перевода текста с одного есте­ственного языка на другой нельзя дать алгоритм, посколь­ку придется апеллировать к таким неточным понятиям, как смысл и контекст. При попытке же применения точ­ного алгоритма получается то, что в более откровенной форме выдают машинные переводчики и в более мягкой, но от этого не менее вредной — профессиональные пере­водчики в тот момент, когда выходят за рамки полностью освоенных ими понятий и действий. Поскольку процесс исполнения потенциально осуще­ствим, в теоретическом определении алгоритма отвлека­ются от реальных ограничений на ресурсы и следят лишь за тем, чтобы в любой момент вычисления требуемая информация и другие ресурсы были конечными. При со­здании практических алгоритмов проблемы сложности вы­ходят на первый план.

Хотя неформально математики все время занимались по­иском алгоритмов, данное понятие было уточнено лишь в 30-х гг. 20 в. Первыми уточнениями были абстрактные определения частично-рекурсивных и представимых функ­ций в формальной теории чисел, появившиеся в связи с задачами доказательств теории. В 1936 Э. Пост и А. Тьюринг независимо друг от друга предложили поня­тия абстрактных вычислительных машин и подметили, что любой алгоритм в интуитивном смысле слова может быть реализован на данных машинах, несмотря на кажущуюся примитивность их элементарных действий. Так, памятью машины Тьюринга является потенциально бесконечная лента, в каждой клетке которой записан символ из заранее заданного конечного алфавита. Более того, достаточно рассматривать ленту, каждая клетка которой содержит один бит информации, т. е. либо пуста, либо содержит символ . Процессор машины Тьюринга состоит из голов­ки, которая в любой момент обозревает одну клетку, и программы, состоящей из конечного числа команд, обычно нумеруемых натуральными числами. Каждая ко­манда представляет собой условное действие, зависящее от символа, записанного в клетке. Это действие имеет вид совокупности элементарных инструкций формы ab(L, R, S)i, в которой присутствует лишь одна из букв L, R, S. L — приказ сдвинуться на следующем такте на одну клетку влево, R—враво, S— остаться на месте. Элементарная ин­струкция означает следующее: если машина видит а, запи­сать в клетку Ь, передвинуться в соответствии с командой и перейти к исполнению команды . Такая элементарность действий машины явилась результатом проведенного Тью­рингом методологического анализа элементарных дей­ствий человека по исполнению алгоритмов. Команды машины Поста предвосхитили систему команд современных вычислительных машин. В машине имеются регистры, содержащие натуральные числа, элементарные операции увеличения и уменьшения числа на 1 и условный переход, если число в регистре равно 0. Одновременно А. Чёрч и X. Б. Карри создали одно из самых абстрактных понятий алгоритма: λ-определимость, выразимость с по­мощью терма комбинаторной логики. И ранее созданные теоретические понятия, и самые эле­ментарные, и самые абстрактные из вновь появившихся уточнений алгоритма оказались эквивалентны. Этот факт, подтвержденный в дальнейшем для всех вновь появляв­шихся точных определений алгоритма, послужил основой утверждения, скромно называемого в математике тезисом Черча, хотя степень его подтвержденности ныне выше, чем у любого физического «закона». Содержательное понятие алгоритма эквивалентно по объему любому из имеющихся в данный момент математических уточнений этого поня­тия, в частности вычислимости на машине Тьюринга. Одним из последних появилось уточнение алгоритма, наи­более близкое к современным языкам программирова­ния, — рекурсивные схемы Скотта. Это — совокупность оп­ределений вида

fi(x)<= if P(x)then t(x) else r(x),

где х—кортеж переменных, а сами определяемые функции могут входить в выражения t, r. Определение понимается следующим образом: проверяется предикат Р, если он истинен, вычисляется t, иначе г. Если в вычисляемом выражении встречаются определяемые функции, они вновь по тем же правилам заменяются на их определения. Хотя по объему определяемых функций существующие уточнения понятия алгоритма эквивалентны, они различа­ются по своей направленности. Эти различия можно под­черкнуть, рассматривая относительные алгоритмы, строя­щиеся на базе некоторых абстрактных структур данных и операций над ними. Относительные алгоритмы, полу­чающиеся на базе различных определений алгоритма, мо­гут определять разные классы функций при одних и тех же исходных структурах и элементарных операциях. Так, напр., машины Тьюринга приводят к одним из наиболее узких определений относительных алгоритмов, а комбина­торная логика и рекурсивные схемы—наоборот, к весьма широким.

При модификации машин Тьюринга резделением входной и выходной ленты (со входной можно лишь читать, на выходную—лишь писать, причем после записи и чтения мы необратимо сдвигаем ленты на одну ячейку) получается важное понятие конечного автомата, моделирующее вы­числительные машины без внешней памяти. Возможности конечных автоматов значительно меньше, в частности на них нельзя распознать простые числа. С понятием алгоритма тесно связано понятие порождаю­щего процесса, или исчисления. Порождающий процесс отличается от алгоритма тем, что он принципиально неде-терминирован, его правила суть не предписания, а раз­решения выполнить некоторое действие. Примером исчис­ления может служить логический вывод либо разбор в формальной грамматике.

Рассмотрение алгоритмов показало, что нельзя ограничи­ваться всюду определенными функциями и соответственно нельзя проходить мимо выражений, не имеющих значения. Ошибка является компаньоном программы. Одним из пер­вых результатов теории алгоритмов явилась теорема о том, что не любую вычислимую функцию можно продолжить до всюду определенной вычислимой функции. Практиче­ским примером таких функций является любой интерпре­татор программ, напр., BASIC. Если не ограничивать воз-

можности программиста, то нельзя создать интерпретатор, который невозможно было бы привести в нерабочее состояние исполнением синтаксически корректной про­граммы.

Множество, характеристическое свойство которого являет­ся всюду определенным вычислимым предикатом, называ­ется разрешимым. Множество, принадлежность элемента которому можно установить за конечное число шагов при­менением некоторого алгоритма, называется перечисли­мым. Напр., множество тавтологий классической логики высказываний разрешимо, а множество тавтологий класси­ческой логики предикатов перечислимо. Заметим, что в слу­чае перечислимого множества алгоритмически установить можно лишь истинность, а не ложность. В классической математике имеет место следующий критерий разрешимо­сти: множество разрешимо, если и оно, и его дополнение перечислимы. В конструктивной этот критерий эквивален­тен принципу Маркова (см. Конструктивное направление). Другая характеризация перечислимого множества — мно­жество объектов, выводимых в некотором исчислении. Необходимо отметить, что схема вычислительного процес­са на компьютере конца 20 в. —написание программы на языке высокого уровня, трансляция ее в машинный язык и исполнение компьютером—имеет теоретической осно­вой теорему об универсальном алгоритме. При любом точ­ном определении алгоритмов каждый алгоритм может быть задан своим определением, которое является кон­структивным объектом. Этот конструктивный объект мо­жет быть алгоритмически в содержательном смысле (и при этом достаточно просто и естественно) закодирован тем видом конструктивных объектов, которые обрабатываются данными алгоритмами. Напр., определение алгоритма мо­жет быть записано как слово в некотором алфавите, а если мы взяли определение алгоритма, в котором рассматрива­ются лишь натуральные числа, такое слово может быть естественно представлено как число в системе счисления, основанием которой является количество букв в алфавите. Тогда имеется универсальный алгоритм U, перерабатываю­щий любую пару (ф, Р), где ф —конструктивный объект, называемый записью или программой (относительно U) алгоритма ф, в результат применения ф к Р. Универсальный алгоритм не может быть всюду определен. Примером уни­версального алгоритма может служить транслятор с алго­ритмического языка, в частности с Паскаля, вместе с опе­рационной системой, исполняющей получившуюся про­грамму.

Если рассматривать лишь конструктивные объекты, то ал­горитм естественно отождествить с его программой от­носительно некоторого U. То, что такое отождествление является ограниченным, показывают проблемы современ­ной теории и практики программирования. Одной из са­мых трудных возникающих в этом случае проблем является восстановление алгоритма по реализующей его конкрет­ной программе.

Если понятие алгоритма, перерабатывающего реальные конструктивные объекты, можно считать однозначно оп­ределенным, то его обобщение на объекты высших типов допускает многочисленные варианты, неэквивалентные друг другу. Обобщение теории алгоритмов на абстрактные вычисления и объекты высших порядков является одним из основных направлений исследований современной тео­рии алгоритмов.

Другим важнейшим направлением развития теории алго­ритмов служит теория сложности вычислений, рассмат­ривающая проблемы оценки ресурсов, необходимых для работы алгоритмов. Основы ее закладывали российские ученые А. Н. Колмогоров и А А. Марков и венгерский мате­матик С. Кальмар. Вот некоторые из ее результатов, име­ющих методологическое значение. Имеются два типа сложности —сложность определения и сложность вычислений. Они раскрывают разные сторо­ны исследуемых методов и объектов, хотя между ними имеются некоторые зависимости. В частности, чем быст­рее вычисление алгоритма, определяющего некоторый объект, тем, как правило, сложнее его описание. Во мно­гих практических случаях, напр, для сортировки данных, приходится искать компромисс и использовать не самые быстрые теоретически, хотя и более простые в действии алгоритмы.

Если сложность определения практически не зависит от конкретного уточнения понятия алгоритма, то число ша­гов и используемая память резко различаются, напр., для рекурсивных схем и машин Тьюринга. Самое простое по­нятие машин Тьюринга оказалось наиболее подходящим для теоретического анализа вычислительной сложности задач.

Число шагов и используемая память—взаимозависимые характеристики вычислительного процесса. Часто удается убыстрить процесс, задействовав больше памяти, либо уменьшить память, увеличив число шагов процесса. Но такая оптимизация ресурсов возможна лишь в ограничен­ных пределах, и более критическим является число шагов. Память теоретически можно неограниченно уменьшать, замедляя программу (конечно же она тем не менее растет с ростом исходных данных, но не более чем линейно). Имеются и такие случаи, когда за счет сложности описа­ния алгоритма можно неограниченно убыстрять процесс вычисления (теорема об ускорении). Тем не менее прак­тически и здесь быстро наступает предел ввиду неустойчи­вости работы сложных алгоритмов. Практически вычислимыми оказываются функции, число шагов вычисления которых на машине Тьюринга может быть оценено некоторым многочленом от длины исход­ных данных. Степень данного многочлена определяет объем исходных данных, которые могут быть обработаны. В частности, для вычислений часто приемлемы алгорит­мы, число шагов которых растет как четвертая степень от исходных данных, а для. работы с большими базами данных обычно неприемлемы даже квадратично растущие алгоритмы.

Экспоненциальный рост числа шагов машины Тьюринга означает, что область реального применения данного ал­горитма жестко ограничена сверху и никакой рост вычис­лительных ресурсов не может значительно поднять планку. Напр., для увеличения числа булевых переменных в прове­ряемой пропозициональной формуле на 1 придется подни­мать быстродействие машины в два раза. Более чем экспо­ненциальный рост означает практическую невычисли­мость.

Прямая и обратная функции могут сильно различаться по сложности, поэтому можно строить простые коды, прак­тически не расшифровываемые без знания ключа. Это послужило основой современной практики кодирования и электронных подписей.

Сложность описания системы — гораздо более сложный объект, чем само ее описание. Т. о., познать систему пол­ностью может лишь система более высокого порядка. Ми­нимум сложности описаний конструктивных объектов с данным числом элементов растет медленнее, чем любая вычислимая функция (т. о., есть громадные, но исключи­тельно просто описываемые объекты, налр.10'⁰'⁰). Слож­ность описания большинства объектов данной длины не намного ниже, чем длина записи этих объектов. Т. о., возникает понятие содержательного случайного объекта, не описываемого кратко никакими алгоритмическими сре­дствами.

На основе теории сложности описания А. Н. Колмогоров, Л. А. Левин, П. Мартин-Леф и другие развили алгорит­мическую теорию вероятностей. Основой данной теории явилось содержательное определение случайной последо­вательности по Р. Мизесу. Двоичная последовательность случайна, если из нее нельзя выбрать никакую после­довательность с другой частотой нулей и единиц. Напр., последовательность 0, 1, 0, 1... неслучайна, поскольку последовательность ее четных членов состоит из одних единиц. В классической математике такое определение пусто. А. Н. Колмогоров уточнил его, предложив рассмат­ривать лишь алгоритмические перестановки подмножеств членов данной последовательности. Оказалось, что слу­чайность связана со сложностью определения. Сложность фрагментов случайной последовательности пропорциона­льна длине их записи. Итак, содержательно случайные объекты являются приближениями к случайным после­довательностям.

Для любой совокупности программ, имеющих ограничен­ную сложность, можно построить ограниченный универ­сальный алгоритм, исполняющий все их без ошибок, но его сложность будет неизмеримо выше, чем сложность испол­няемых программ. Далее, можно построить алгоритмиче­ский процесс, расширяющий ограниченный универсаль­ный алгоритм с тем, чтобы включить любую предъявлен­ную программу, не входящую в данный класс, но при этом сложность универсального метода станет еще выше. Уже один шаг данного процесса диагонализации далеко выво­дит за рамки класса функций, считающихся реально вы­числимыми. Это — алгоритмическая основа софизма, при­мененного в аргументе Саймона (см. Парадокс логический). Заметим, что тезис Черча содержит одно важное онтологи­ческое предположение: о невозможности обозреть веч­ность. Поэтому в общей теории относительности (в част­ности, во вселенной Гёделя, в которой время может ходить по кругу) имеются миры, в которых, пролетая сквозь вра­щающуюся черную дыру, можно вычислить алгоритмиче­ски невычислимую функцию. Класс функций, которые могут быть вычислены в таких Вселенных, называется гиперарифметическим. Он неопределим в арифметике и определим лишь в анализе.

Лит.: Клини С. К. Введение в метаматематику. М, 1957; Баренд-регтХ. ^-исчисление. Его синтаксис и семантика. М, 1984; Мар­ков А. А., Нагорный Н. М. Теория алгорифмов. М, 1984; Теория рекурсий.—В кн.: Справочная книга по математической логике. М., 1982; Успенский В. А., Семенов А. Л. Теория алгоритмов: основ­ные открытия и приложения. М, 1987; Роджерс X. Теория рекур­сивных функций и эффективная вычислимость. М, 1972; Депей-вода Н. Н. Прикладная логика. Ижевск, 1997.

Н. Н. Нагейвода

АЛГОРИТМИЧЕСКИЙ ЯЗЫК - искусственная си­стема языковых средств, обладающая выразительными возможностями, достаточными для того, чтобы с ее по­мощью можно было задать любое принадлежащее заранее очерченному классу детерминированное общепонятное предписание, выполнение которого ведет от варьирующих в определенных пределах исходных данных к искомому результату. Такого рода предписания носят название ал­горитмов, откуда и сам термин «алгоритмический язык». В систематическое употребление он был введен в 1958 Г. Боттенбрухом. Исторически понятие алгоритмического языка сформировалось в 50-х гг. 20 в. в процессе станов­ления компьютерного программирования как самостоя­тельной научной дисциплины. Однако теоретические ис­токи этого понятия прослеживаются еще в работах 30-х гг. С. К. Клини, Э. Л. Поста, А. М. Тьюринга и А. Черча по уточнению общего математического понятия алгоритма. В настоящее время теория алгоритмических языков, а так­же проблематика, связанная с их разработкой и использо­ванием, составляет один из важнейших разделов инфор­матики.

В логико-лингвистическом и гносеологическом аспекте алгоритмические языки представляют собой одну из моде­лей императива (повелительного наклонения), и потому выступают, с одной стороны, как средство фиксации опе­рационного знания, а с другой —как инструмент машин­ной, человеко-машинной или даже просто человеческой коммуникации. За короткий промежуток времени алгорит­мические языки превратились в новое познавательное средство, органически вошедшее в научную и практиче­скую деятельность человека. Обычно к ним предъявляется требование «универсальности», заключающееся в том, что должна иметься возможность моделирования с их помо­щью любых алгоритмов из числа тех, которые дают какое-либо уточнение общего понятия алгоритма (напр., машин Тьюринга). Абсолютная точность синтаксиса алгоритмиче­ского языка необходима не во всех случаях. Она обязатель­на в рассмотрениях содержательного характера. Но в опре­деленных ситуациях (напр., когда тексты, записанные на каком-либо алгоритмическом языке, начинают выступать в роли средства общения с компьютером) этот алгоритми­ческий язык должен быть оформлен в виде соответствую­щего формализованного языка с четко описанным синтак­сисом и точно заданной семантикой его грамматических категорий. Центральное место в таких алгоритмических языках занимают тексты, называющиеся программами (со­бственно говоря, именно они и выражают понятие ал­горитма). Понятие программы формулируется в чисто структурных терминах синтаксиса этого языка, без какого-либо обращения к смысловым категориям. Точно такой же характер носит и описание процедуры выполнения про­граммы. Поэтому в роли исполнителя алгоритмов, запи­санных на формализованных алгоритмических языках, мо­жет выступать не только человек, но и наделенное соответ­ствующими возможностями автоматическое устройство, напр., компьютер. «Теоретические» алгоритмические язы­ки (такие, как язык машин Тьюринга или нормальных алгорифмов Маркова) лежат в основе общей теории ал­горитмов.

«Практические» алгоритмические языки—т. н. языки про­граммирования для компьютеров (в настоящее время их известно более тысячи) —используются в практике ма-

шинного решения самых разнообразных по своему харак­теру задач. На ранней стадии программирования употреб­лялись «машинно-ориентированные» алгоритмические языки (т. н. языки «низкого уровня»), учитывавшие струк­туру или даже характеристики конкретных вычислитель­ных машин (систему команд, особенности и структуру памяти и т. п.). Потом им на смену пришли «проблемно-ориентированные» алгоритмические языки (языки «высо­кого уровня»), освободившие пользователя от необходимо­сти ориентироваться на машины определенного типа и тем самым придавшие его усилиям гораздо большую математи­ческую направленность. Дальнейшим развитием идеи ал­горитмического языка явились языки программирования более общего, не обязательно алгоритмического характера. Как и алгоритмические языки, такие языки в конечном счете тоже нацелены на получение машинных программ, но во многих случаях их тексты допускают определенную свободу в выполнении и, как правило, дают лишь материал для синтеза искомых алгоритмов, а не сами эти алгоритмы. Все убыстряющееся проникновение вычислительных ма­шин в научную, культурную и социальную сферы ведет к значительному повышению роли алгоритмических язы­ков в жизни общества, и это выражается, в частности, в том, что алгоритмы и реализующие их программы (т. е., в конечном счете, тексты на некоторых алгоритмических языках) все более и более приобретают характер реальньк ресурсов экономического, научного и культурного потен­циала общества, что в свою очередь вызывает к жизни значительное количество серьезных методологических и гносеологических проблем. Кроме того, все расширя­ющееся (вплоть до обиходного) пользование алгоритмиче­скими языками приводит к установлению особого стиля мышления, и соотношение мышления такого рода с тради­ционным математическим тоже представляет собой важ­ную и мало разработанную методологическую проблему.

Лит.: Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ, т. 1—3. М., 1976; Ершов А. П. Введение в теоретическое программирование: беседы о методе. М., 1977; Дейкстра Э. Дисциплина программиро­вания. М., 1978.

Я. М. Нагорный

АЛЕКСАНДЕР (Alexander) Сэмюэль (6 января 1859, Сидней—13 сентября 1938, Манчестер) —английский фи­лософ, представитель неореализма, один из создателей эмерджентного эволюционализма (от англ. emergence — возникновение, внезапное появление). Согласно концепции Александера, Вселенная представля­ет собой уровни, где каждый низший уровень предшеству­ет высшему по времени. Первичный основной вид бытия есть чистое пространство и время, а именно их элементы — точка и момент. В исходном единстве пространство и вре­мя взаимно обусловливают друг друга: без пространства «распалась бы связь времен», а без времени осталась бы бескачественная масса. Т. о., пространство выступает как связующее, как тело времени, а время — как дискретность, как сознание пространства. Будучи неразрывно связаны, они образуют событие «точка-момент» без какого-либо качественного содержания. Природа на этом уровне раз­вития есть «чистое событие», движение без качеств. Сле­дующий уровень природы представляет собой сочетание нескольких движений, порождающих массу и инерцию, и, следовательно, имеющий уже качественное содержание.

Третья ступень есть результат сочетания механических движений, порождающих такие качества, как тепло, звук, свет и т. п. Иа четвертой ступени эволюции развиваются растительные и животные организмы, на пятой—дух. В этом восходящем ряду каждая низшая ступень бессозна­тельно стремится к высшей как к области божественного. Т. о., для доматериального бытия божественна материя, для животных и растений — человек, а для людей — некое неведомое качество, более высокое, нежели человеческая духовность. Следовательно, Божество «есть изменчивое ка­чество и по мере того, как мир развивается во времени, Божество вместе с тем меняется».

Гносеология Александера основана на неореалистическом представлении о непосредственном характере познания предмета, имманентного сознанию человека и по своему бытию независимого от индивидуального человеческого сознания, оставаясь при этом трансцендентным самому сознания (т. е. не становясь частью его индивидуального бытия). Категории рассматриваются Александером как не­изменные и постоянные свойства материи и духа. В этике защищал эволюционизм, согласно которому моральные нормы изменяются под влиянием окружающей среды.

Соч.: Space, Time arid Deity, vol. 1—2. L., 1927; Beauty and Other Forms of Value. L., 1933; Philosophical and Literary Pieces. L., 1939. Лит.: Богомолов А. С. Английская буржуазная философия XX века. М„ 1973.

Ф. Н. Блюхер

АЛЕКСАНДР из Дамаска (2 в.)-фило­соф-перипатетик, знаток Платона и учения скептической Академии (ср. такой же круг интересов Аристокла из Мее-сены). Александр возглавил перипатетическую кафедру в Афинах, учрежденную Марком Аврелием наряду с тремя другими философскими кафедрами в 176; вскоре, ок. 178 — 179, последовала его смерть. Из трактата Галена «О пред­варительной диагностике» известно, что Александр при­сутствовал на лекции Галена в Риме в 163, которую ор­ганизовал консул Флавий Боэт, ученик Александра. Во время показательного анатомирования, проведенного Га-леном, Александр завязал дискуссию о том, следует ли полагаться на чувственную очевидность (XTV. 626—629 Kuhn). В арабских источниках ошибочно отождествлялся с Александром Афродисийским.

Лит.: Tbdd Я В. Alexander of Aphrodisias on Stoic Physics. Leiden, 1976, p. 2—11; BadawiA. La transmission de la philosophie grecque au monde arabe. P., 1987, p. 109—114.

M. А. Солопова

АЛЕКСАНДР из Ликополя (ок. 300) —автор философ-ско-полемического трактата «Против манихеев»; согласно Фотию, епископ Ликополя. Критикует учение манихеев с позиций, близких философии Аммония Саккаса и его ученика платоника Оригена. Вместе с тем у Александра отсутствует ряд положений, характерных для неоплатониз­ма Плотина и Порфирия (учение о едином, разделение ума и демиурга), что делает его сочинение уникальным источ­ником по философии в Александрии в период между сер. 3 в. (школа Аммония) и 400 (подъем Александрийской шко­лы неоплатонизма).

Соч.: Alexandri Lycopolitani contra Manichaei opiniones disputatio, ed. A. Brinkmann, Lpz., 1895; An Alexandrian Platonist Against Dualism. Alexander of Lycopolis' Treatise «Critique of the Doctrines of

Manichaeus», tr. with introd. and notes by P. W. van der Horst and J. Mansfeld. Leiden, 1974.

M. Л. Хорьков

АЛЕКСАНДР АФРОДИСИЙСКИЙ ('Akt^avbpoc, 6 'A<ppo5iai£i5i;) (из г. Афродисия в Карий, М. Азия; акме ок. 200 н. э.) — влиятельнейший античный комментатор Аристотеля, глава Перипатетической школы в Афинах ок. 198—209 (хронология зависит от посвящения трактата «О судьбе» римским императорам Септимию Северу и Ка-ракалле). Первый в ряду античных комментаторов, чьи тексты сохранились, и последний, кто толковал Аристо­теля «с помощью Аристотеля», без привлечения неоплато­нического словаря. Позднеантичные комментаторы, при­знавая авторитет Александра, часто ссылались на него анонимно как на «комментатора» (подобно тому как Ари­стотеля называли просто «философом»). Сочинения Александра, сохранившиеся лишь частично, делятся на две группы: комментарии и трактаты. Изданы комментарии на «Метафизику» (на кн. I—V подлинные; на кн. VI—XIV вслед за Прехтером принято приписывать Михаилу Эфесскому, есть также мнение о принадлежности этих книг школе Сириана), «Первую Аналитику» (кн. 1), «Топику», «О чувственном восприятии», «Метеорологику»; комментарий на «Опровержения софистов» неаутентичен. Из утерянных комментариев по цитатам наиболее извест­ны: на «Физику» и «О небе» (у Симшшкия), а также на «О возникновении и уничтожении» и «О душе» (у Иоанна Филопона). Александр разбирает текст Аристотеля пост­рочно и в случае необходимости прибегает к разъясня­ющему парафразу, обсуждает рукописные разночтения, приводит мнения более ранних комментаторов, толкует смысл отдельных терминов с помощью других текстов Стагирита, исходя из представления об аристотелевском учении как едином целом. Ценнейший комментарий на «Метафизику» представляет интерес, помимо прочего, уникальной информацией об академических сочинениях Аристотеля «Об идеях» и «О философии» (in Met. I, 9). Комментарий на «Аналитику» — основной источник сведе­ний о некоторых расхождениях между Аристотелем и его ближайшими учениками Теофрастом и Евдемом (в част­ности, в вопросе о модальности заключения при «смешан­ных» посылках силлогизма).

Подлинными считаются трактаты: «О душе», «О судьбе», «О смешении и росте»; сборники отдельных рассуждений «Апории и решения», «Этические проблемы», вероятно, собраны по материалам рукописей и лекций учениками Александра. В трактатах Александр много внимания уделя­ет полемике, его главные оппоненты —стоики и Гален (из этой серии сочинений сохранился —в арабском перево­де — трактат, направленный против критики Галеном уче­ния Аристотеля о перводвигателе). В «О судьбе» Александр выступает в защиту свободы воли против стоического фа­тализма, в «О смешении» критикует учение стоиков о все­целом смешении. В ходе полемики им приводится богатая доксография периода древней Стой, но как доксограф он не вполне надежен из-за приспособления стоической тер­минологии к перипатетической. В трактатах Александр часто представляет аристотелевскую точку зрения на воп­росы, самим Аристотелем не обсуждавшиеся (ср. трактовку судьбы в смысле «природы» в трактате «О судьбе»). Трактат «О душе», вероятно, близко следует утерянному коммен тарию Александра на «О душе» (первому в богатейшей традиции толкования этого текста). Трактат издан вместе с дополнительной книгой (т. н. Mantissa), традиционно приписываемой Александру; из тематически неоднород­ных рассуждений, собранных в mantissa, наиболее важна интерпретация аристотелевского учения об уме-нусе (см. «Пер1 voi3», лат. De intellectu, pp. 106—113, Bruns). Ум понимается Александром трояко: 1) материальный, или потенциальный; 2) способный мыслить; 3) творческий (яоптакб^), или деятельный (lve.pye.iq.), или «приходящий извне (9i5pa6ev)», отождествляемый с божественным Умом из XII кн. «Метафизики»; этот третий ум резко отграничи­вается от первых двух умов, связанных с человеческим мышлением. Такая трансцендентная интерпретация дея­тельного ума отходит от текста Аристотеля, рассматривав­шего деятельный ум как бессмертную часть человека. Дальнейшая судьба сочинений Александра связана в пер­вую очередь с традицией комментирования Аристотеля в неоплатонизме и на арабском Востоке. Внимание к Але­ксандру в неоплатонизме во многом обусловлено интере­сом к нему со стороны Плотина (исходное свидетельство для установления объема и характера влияния — Порфи-рий, «Жизнь Плотина», гл. 14). Благодаря переводам на арабский язык Александр оказался самым значимым по­средником между Аристотелем и его арабскими экзегетами (см. особенно Ибн Рушд); наиболее популярен в средние века был текст De intellectu. В эпоху Возрождения интерес к Александру был велик у представителей Падуанской шко­лы; долгую историю имел спор между «александристами» (П. Помпонацци, Я. Дзабарелла) и «аверроистами», соот­ветственно отрицавшими и признававшими бессмертие че­ловеческой души. См. также Аристотеля комментаторы и Аристотелизм.

Тексты комментариев: CAG, vol. 1—3; трактаты: Suppiementum, vol. 1-2, ed. I. Brans.

Переводы: On Aristotle Metaphysics, bks. 1—5, tr. W. E. Dooley, A. Madigan. L—N. Y., 1989—94; On Aristotle Prior Analytics 1.1—7, tr. J. Barnes et al. 1991; On Fate, text, tr. and comm. by R. W. Sharpies. L, 1983; Ethical Problems, tr. and comm. by Sharpies. L, 1990; Quaestiones 1.2—2.15; 2.16—3.5, tr. and comm. by Sharpies. L., 1994; IbtinisA. P. The «De Anima» of Alexander of Aphrodisias. Wash., 1979; SchroederF. M, Ibdd R B. Two Greek Aristotelian Commentators on the Intellect. Toronto, 1990; в рус. пер.: О смешении и росте, пер. М. А. Солоповой.—В кн.: «Философия природы в античности и в средние века», ч. 2. М, 1999.

Лит.: Sharpies R W. Alexander of Aphrodisias. Scholasticism and Innovation,-ANRW II, 36.1, 1987, 1226-43 (библ.); Idem. The School of Alexander.—Sorabji R. (ed.), Aristotle Transformed. L., 1990, 83—111; Flannery K. L. Ways into the logic of Alexander of Aphrodisias. Leiden, 1995; Moraux P. et al. Der Aristotelismus bei den Griechen, Bd 3, hrsg. J. Wiesner. В., (в печати).

M. А. Солопова

АЛЕКСАНДР ГЭЛЬСКИЙ (Alexander Halensis, of Hayles) (1185—1186, Хеилз Оуэн в Шропшире, Англия — 15 августа 1245, Париж)—христианский теолог, предста­витель схоластики. Ок. 1200 студент в Париже, к 1210 ма­гистр «свободных искусств», к 1220 архидиакон, бакалавр-сентенциарий, магистр-регент теологического факультета. В 1236 (или 1231) францисканец, основатель первой фран­цисканской кафедры теологии в Парижском университете, «отец и учитель» (Бонавентура). Автор «Глосс» (образцово­го комментария к «Сентенциям» Петра Ломбардского),

сборника «Спорные вопросы», словаря трудных терминов «Экзотикой», проповедей. О «Сумме всеобщей теологии» Роджер Бэкон говорил, что «ее груз больше, чем может вынести один конь, но из уважения [к Александру] она была приписана ему»; ее план, повторяющий структуру «Сентенций», явно восходит к Александру. В учении о трех путях познания через богодухновенное просвещение, тол­кование Писаний и осмысление тварного мира Александр синтезировал мистику Августина, Анселъма Кентерберий-ского, Бернарда Клервоского и Сен-Викторской школы, па­фос средневекового комментария и аристотелизм, как прямо знакомя со всем аристотелевским корпусом, так и через Авиценну (Ибн Сину). Его отличает концепция врожденного интуитивного знания, ведущего к первосуще-му, первоистине, первоблагу и счастью. Как запечатлен­ные понятия (notiones impressae) действуют в уме, так семенные смыслы (rationes seminales) в природе. В важном для 1-й пол. 13 в. вопросе о сотворении мира Александр отрицал предвечность материи-возможности (possibilitas), но понимал начало онтологически: оно «из ничего» и по­тому «после» небытия. «Неопровержимый доктор» (doctor irrefragabilis) Александр стал авторитетом для зрелой схо­ластики, дав ей структуру «суммы» как философского стиля.

Соч.: Summa theologiae I—IV. Coloniae, 1622; Summa theologiae I—HI. Quaracchi, 1924—30; Glossa in Quattuor libros Sententiarum Petri, 4vols. Quaracchi, 1951—57; Quaestiones disputatae «Antequam esset frater», 3 vols. Quaracchi, 1960.

Лит.: Doncet V. Prolegomena in librum III necnon in libros I et II Summae fratris Alexandri. Quaracchi, 1948; Gossmann E. Metaphysik und Heilsgeschichte: Eine theologische Untersuchung der «Summa halensis». Munch., 1964.

В. В. Бибихин

АЛЕКСАНДР ИЗ ЭГ ('AAi£ccv8po<; 6 At-yaio;) (1 в. н. э.) — греческий философ-перипатетик, учитель Нерона. Известен по упоминанию Симпликия в его комментариях на трактаты Аристотеля «Категории» и «О небе». Лит.: Gerke A. Alexandras (92), RE I 2. 1894, col. 1452.

А. В. Пахомова

АЛЕКСАНДР ПОЛИГИСТОР ((род. 105до н.э., Милет)—римский, историк и эрудит, близкий к пифагорейской традиции. Йудей по происхождению, в Рим попал как военнопленный в 82, но впоследствии обрел свободу и римское гражданство. Был преподавателем и весьма плодовитым писателем, за что получил прозвище «Полигистор», однако из его наследия практически ничего не сохранилось. Известно, что он испытывал особый интерес к пифагорейству и написал трактат «О пифагорейских символах» (цитаты, напр., у Климента Александрийского), а также своего рода ис­торию философии в жанре «Преемств» (цитируется Диоге­ном Лаэртием). Работы Александра послужили источни­ком для многих последующих авторов, в частности для Нигидия Фигула, основателя неопифагореизма (согласно Цицерону).

Диоген Лаэртий (VIII 24—33), опираясь на не дошедший до нас трактат Александра «Преемства <философов>», пересказывает некий неопифагорейский источник, кото­рый получил в литературе название Anonymus Alexandri, где излагается доктрина порождения чувственного мира

из геометрических объектов, а последних—из математи­ческих. Началом всего является монада (единица), по­нимаемая как причина, ей противопоставлена неопреде­ленная двоица, понимаемая как вещество. Эта доктрина, вероятно, восходит к работам Спевсиппа и Ксенократа и напоминает ту, которая критикуется Аристотелем в «Ме­тафизике» (Met. XIII 7). Нечто подобное говорит и Секст Эмпирик во 2-й кн. «Против физиков» (Adv. Math. X 248— 84; ср. VII 94—109). О порождении чувственного мира из умопостигаемых объектов говорится и в некоем пи­фагорейском источнике, пересказываемом Фотием (Bibl. Cod. 249).

Лит.: Dillon J. The Middle Platonists, 2 ed. L., 1996, p. 342—344; The Cambridge History of Later Greek and Early Medieval Philosophy, ed. by A. H. Armstrong. Camb., 1967, p. 87-89.

E. В. Афонасин

АЛЕКСАНДРИЙСКАЯ ШКОЛА 1) платонизма и 2) неоплатонизма.

1) Александрийская школа платонизма—название, услов­но объединяющее ряд философов-платоников 1 в. до н. э.—начала-5 в. н. э., не связанных единообразно с опре­деленным институтом, но учивших в Александрии. Плато­новские тексты попадают в Александрию, вероятно, уже в период основания Музея; предметом специального рас­смотрения и комментирования они становятся у Стефана Александрийского (ум. 180), сгруппировавшего их по три­логиям, выделившего неподлинные диалога и, вероятно, осуществившего издание корпуса (Diog. L. Ill 61—66). Среди александрийских филологов Платон сначала был оценен за литературные достоинства (известное слово Па-нэтия, назвавшего Платона «Гомером философов»). В 87 в Александрии—Антиох Аскалонсшй, провозгласивший от­каз от академического скепсиса и возвращение к догматиз­му Древней Академии. Возможно, с кругам его учеников так или иначе был связан Евдор Александрийский, который, отказавшись от свойственного Антиоху стоического мате­риализма в толковании сверхчувственного мира и от без­условного приятия аристотелевской логики, развил пифа­горейские моменты в платонизме, обратился к непосред­ственному толкованию текстов Платона (в частности, «Ти-мея») и тем самым открыл т. н. средний платонизм. О том, что платонизм в Александрии продолжал развиваться на рубеже старой и новой эры, можно судить по сочинениям Филона Александрийского. В духе александрийского пла­тонизма философствовал Аммоний, учитель Плутарха (ум. ок. 80 н. э.), который перенял от учителя интерес к пифа­горейской числовой символике и восточным вероучениям. Вероятно, сходный комплекс идей—но при гораздо более развитом мистическом начале — развивался в кружке Ам­мония Саккаса, учителя Плотина и ряда других платоников (Оригена, которого не следует смешивать с учителем Церк­ви; Геренния; колдуна Олимпия, и др.)! Однако ок. 242, вероятно, после смерти Аммония, кружок его учеников распался. В кон. 4 —нач. 5 в. в Александрии преподавала Гипатия (ум. 415); хотя «Суда» сообщает, что Гипатия читала публичные лекции о Платоне, Аристотеле и др. философах, тем не менее сведений о философских сочине­ниях Гипатии у нас нет, и по тому же «Суде» вероятнее всего заключить, что прямой специальностью Гипатии, дочери и ученицы математика Феона, была геометрия и астрономия. Учеником Гипатии был Синесий Кирен-

ский, с 411 епископ Птолемаиды, сочинения которого представляют собой смешение христианства и платонизма, затронутого влиянием Плотина.

2) Александрийская школа — ответвление Афинской школы неоплатонизма. Первым неоплатоником в Александрии был ученик Плутарха Афинского (ум. 432) Гиерокл Алек­сандрийский, который ок. 420 начал здесь преподавать платоновскую философию в ямвлиховском духе. Как языч­ник Гиерокл был отправлен в изгнание, но затем вернулся в Александрию и продолжал учить по-прежнему. В Афинах у Сириана учился Гермий, от которого дошла запись лек­ций Сириана о «Федре». Сын Гермия Аммоний, ученик Прокла, открывает «неоплатоническую эру» комментиро­вания Аристотеля, однако преподавание платоновской фи­лософии в Александрии при этом не прерывается: между 475 и 485 курс платоновской философии у Аммония слу­шал Дамаский, сорока годами позже лекции Аммония о «Горгии»—Олимпиодор; на лекции по платоновской фи­лософии, в частности на комментарий к «Теэтету», ссыла­ется Асклепий. Иоанн Филопон, также ученик Аммония, приняв христианство, полемизирует с ортодоксальным не­оплатонизмом Афинской школы, но прежде всего (в сочи­нении «О вечности мира против толкования Прокла») обрушивается на традицию неоплатонического толкования «Тимея». Вероятно, непосредственным преемником Аммо­ния был Евтокий, читавший курс по «Органону» Аристо­теля. Ряд комментариев к Платону принадлежит Олимпи-одору Младшему, последнему неоплатонику-язычнику Александрийской школы.

Ученики Олимгшодора Элиас и Давид—христиане; в это время (2-я пол. 6—нач. 7 в.) изучение философии в Алек­сандрийской школе ограничивается началами логики. Программа обучения, как и в Афинской школе, включала в себя толкование сочинений как «дивного» Аристотеля, так и «божественного» Платона (сочинения Аристотеля как введение и необходимое дополнение к сочинениям Платона). До чтения полных корпусов Аристотеля и Пла­тона дело доходило, вероятно, крайне редко (у Аммония?), при этом сочинения Платона читались в Александрийской школе в меньшей степени, чем в Афинской. От Олимпи-одора, напр., дошли три комментария к диалогам Платона («Алкивиад Ь, «Горгий», «Федон»), читавшимся первыми по порядку из 12, входивших в полный курс платоновской философии («канон Ямвлиха»). Элементарный характер обучения провоцировал иногда в качестве пропедевтики толкование других (помимо трудов Платона и Аристотеля) сочинений по практической этике: отсюда комментарии к «Золотым стихам пифагорейцев» Гиерокла и к «Руковод­ству» Эпиктета Симпликия. Основной курс начинался с общего введения в философию, построенного по плану аристотелевской «Второй Аналитики» II, гл. 1 (в качестве примера см. русский перевод древнеармянской версии «Введения» Давида [Фессалоникийского?] в кн.: Давид Анахт. Соч. М., 1975); за ним следовало введение ко «Введению» Порфирия, чтение самого «Введения», затем введение к Аристотелю, включавшее классификацию его сочинений (см. Аристотеля комментаторы), затем толко­вание «Органона», начинавшееся с «Категорий». К концу 6 в. обучение стало принимать все более элементарный характер и последний представитель школы Стефан Алек­сандрийский, перебравшись из Александрии в Констан­тинополь и сделавшись (после 610) «вселенским наставня ком», т. е. преподавателем им­ператорской академии, среди прочего преподавал квадри-вий. По характеру комментариев к Александрийской шко­ле примыкает Симпликий, стремившийся, как и александ­рийцы, объединить учения Платона и Аристотеля. В целом школа повлияла на формирование византийского богосло­вия (Леонтий Византийский, Максим Исповедник, Иоанн Дамаскин, Михаил Пселл и др.); с Иоанном Филопоном связан сирийский аристотелизм (в частности, сирийские монофизиты), через него традицию толкования Аристо­теля перенимают арабы, оказавшие затем значительное влияние на западноевропейскую средневековую филосо­фию.

Лит.: Tannery P. Sur la p^riode finale de la philosophie grecque.— «Revuephilosophique» XLII, 1896, p. 266—287; luncowrtR. Lesderniers commentateurs alexandrins d'Aristote. Lille, 1941; Richard M. 'And «vifo «Byzantion» 20, 1950; Saffrey H, D. Le Chretien Jean Philopon et la survivance de i'ecole d'Alexandrie au VI^е siecle.—«Revue des Etudes Grecques» LXVII, 1954, p. 396—410; Marrou H.-I. Synesios of Cyrene and Alexandrian Neoplatonism.—Conflict between Paganism and Christianity in the Fourth Century, ed. A. Momigliano. Oxf., 1960; Wsterink L. G. The Alexandria School since Hermias.—Anonymous Prolegomena to Platonic Philosophy, introd., text, transl. and indices by L. G. Westerink. Amst., 1962, p. X—XIII; Hadot I. Le probleme du n6oplatonisme alexandrin. Hierocles et Simplicius. P., 1978; Texts and studies in neoplatonism and Byzantine literature. Coll. papers by L. G. Westerink. Amst, 1980. См. также лит. к ст. Средний платонизм, Неоплатонизм, Афинская школа, Аристотеля комментаторы, Пла­том комментаторы.

Ю. А, Штанин

АЛЕКСЕЕВ Игорь Серафимович (16 мая 1935, Перво-майск, Горьковская обл.—23 апреля 1988, Москва) —рос­сийский философ и историк науки, специалист по ис-торико-методологическим проблемам физики 20 в., доктор философских наук, профессор с 1981. Окончил физиче­ский факультет МГУ (1959), заочную аспирантуру кафедры диалектического материализма естественных факультетов МГУ (1962). Работал на кафедре диалектического материа­лизма естественных факультетов МГУ (1961—62), на ка­федре философии Новосибирского государственного уни­верситета (1962—70), в Институте философии АН СССР (1971; 1988), ИИЕТ АН СССР (1971-82; 1985-88). Док­торская диссертация — «Концепция дополнительности. Историко-методологаческий анализ» (1977). Свою конце­пцию Алексеев называл «субъективным материализмом», раскрывая в абстрактных построениях естествознания формы человеческой деятельности и рассматривая в ка­честве объективной реальности не только природу (объек­та-вещи), но и практическую деятельность. Применитель­но к физической реальности это означает, что действия физика-экспериментатора (процессы измерения) являются объективно реальными и должны быть включены в кар­тину физической реальности. В связи с этим он анализиро­вал концепцию дополнительности Н. Бора, задающую принципы интерпретации квантовой механики. Процесс наблюдения понимается как неделимое целое, символизи­руемый квантом действия. Процесс наблюдения необходи­мо гносеологически разделить на наблюдаемый объект и средства наблюдения (приборы). Информация о целост­ном акте наблюдения, воплощенная в его результате, должна быть отнесена к наблюдаемому объекту. Резуль­таты описываются на естественном языке, уточненном

с помощью понятий классической физики. При этом клас­сичность описания средств наблюдения и его результатов приводит к тому, что наблюдаемый объект также описыва­ется в классических понятиях, соответствующих типу при­мененного средства наблюдения. Поскольку использова­ние некоторых типов приборов исключает друг друга, кар­тины объекта, выраженные в соответствующих наборах классических понятий, также исключают друг друга, пред­ставляя собой дополнительные картины, и лишь в совокуп­ности они дают полную информацию о наблюдаемом объе­кте. Невозможность объединения противоречивых аспек­тов реальности в единой картине предстает в виде несов­местимости двух способов описания этой реальности; сама же картина физической реальности остается единой — за счет введения в нее наряду с планом картины объекта плана картины наблюдения, т. е. деятельности. Концепция дополнительности может быть использована в качестве методологического принципа для разрешения концепту­альных трудностей, возникающих во внефизических обла­стях знания — поскольку результаты человеческой деятель­ности в любой области знания описываются средствами обычного языка. Представление о двугшановости картины физической реальности нашло отражение в разработанной Алексеевым трехкомпонентной модели структуры физиче­ского знания, где в качестве объектов отнесения выступают наблюдаемые объекты, математические объекты; они раз­личаются по способу существования, обусловленному ти­пом деятельности, в которой они фигурируют. Наблюдае­мые предметы реально существуют. Наблюдаемые объекты представляют собой онтологизированные конструкты, пре­дназначенные для объяснения наблюдаемых предметов. Математические объекты также представляют собой кон­структы, но им не приписывается реальное существование. Математический аппарат физической теории выступает в роли языка. Алексеев выдвинул программу построения теории научной рациональности как согласованности эле­ментов содержания системы знания. Деятельность по со­гласованию является многоуровневой.

Соч.: Развитие представлений о структуре атома. Философский очерк. Новосибирск, 1968; Единство физической картины мира как методологический принцип.—В кн.: Методологические принципы физики. М., 1975; Принцип дополнительности.—Там же; Принцип наблюдаемости (в соавт.).—Там же; Взаимосвязь методологиче­ских принципов физики.—Там же; Концепция дополнительности: историко-методологический анализ. М., 1978; Методология обо­снования квантовой теории: история и современность (в соавт.). М., 1984; Деятельностная концепция познания и реальности. Избр. труды по методологии и истории физики. М., 1995 (с библиографи­ей трудов и воспоминания о нем).

К. И. Алексеев

АЛЕКСЕЕВ Николай Николаевич (1 мая 1879, Москва — 2 марта 1964, Женева)— русский правовед, исследователь философии права. После окончания Московского универ­ситета (1906) оставлен в нем для подготовки к профес­сорскому званию. С 1908 — преподаватель на кафедре фи­лософии. В 1908—10 в зарубежной командировке. В 1911 выходит его книга «Науки общественные и есте­ственные в историческом взаимодействии их методов. Очерки по истории и методологии общественных наук». С 1916 профессор юридического факультета Московского университета. В 1918 выпускает книгу «Введение в изу­чение права», где обсуждает проблемы теории права.

В 1918 выезжает в Германию, в октябре 1918 возвращается в Россию —в Крым, становится профессором кафедры го­сударственного права Таврического университета. Стано­вится редактором газет «За единую Россию», «Великая Россия». Вступил в Добровольческую армию, участвовал в боях. Эвакуировался в Константинополь, затем вновь вернулся в Крым, заняв место начальника информацион­ной части в штабе генерала Врангеля. Вновь эмигрировал в Константинополь, затем в Прагу, став секретарем юри­дического факультета Карлового университета (1922), пре­подавал в Берлине (до 1931), затем в Страсбурге (до 1940), Белграде (1940—48), Женеве (1948). Основные усилия Але­ксеева сосредоточены на анализе проблем истории фило­софии права, теории государства, религиозного обоснова­ния нравственности, права и государства. Принимал ак­тивное участие в движении евразийцев, в разработке его программных документов «Евразийство. Опыт системати­ческого изложения» (1926) и в таких публикациях, как «Собственность и социализм. Опыт обоснования социаль­но-экономической программы евразийцев»(Париж, 1928), «На путях к будущей России (Советский строй и его поли­тические возможности)» (Берлин, 1927), разработал соци­ально-экономическую и политическую программу евра­зийского движения. Советский строй рассматривал как власть идеократического государства, тотально подчинив­шего себе всю жизнь общества. Подчеркивая важность государства для России, он пытался связать аристократизм и демократизм, поскольку правящий слой специалистов в новом государстве формируется путем отбора из народа и образует нечто вроде «духовного ордена». Правовое устройство будущего государства он строил на основе по­нятия «правды», понятой как справедливость, как един­ство прав и обязанностей, как установленное право, коре­нящееся в противовес объективному праву западноевро­пейских стран в религиозном сознании и самосознании. Идеализируя федералистское устройство Советской Рос­сии, он полагал, что будущая Россия также будет строиться на началах федерализма. После победы национал-социа­лизма в Германии и краха евразийского соблазна он про­тивопоставляет им идею демократического государства, которое призвано обеспечить гарантии участия специали­стов в управлении обществом. Гарантийное и демократи­ческое государство, являясь также идеократическим, ос­новывается на утверждении идей и ценностей правосла­вия, в котором он видел силу, спасающую Россию. Религи­озное обоснование права дается им в таких работах, как «Религия, право и нравственность» (1937), «Идея «Земного Града» в христианском вероучении» (1926), «Русский на­род и государство» (1927), «Христианство и идея монар­хии» (1937), «Христианство и социализм» (1931) и др. Участник экуменического движения.

Соч.: Основы философии права. Прага, 1924, переиздание. СПб., 1999; В бурные годы (из воспоминаний Алексеева).—Архив рус­ской революции, 1926, вып. 17; Русский народ и государство.— Путь, 1927, № 8; На путях к будущей России (Советский строй и его политические возможности). Париж, 1927; Советский феде­рализм.—Евразийский Временник. Париж, 1925, Кн. 5; Собствен­ность и социализм. Опыт обоснования социально-экономической программы евразийства. Париж, 1928; Религия, право и нравствен­ность. Париж, 1930; Теория государства. Теоретическое государ-ствоведение, государственное устройство, государственный идеал. Париж, 1931; К учению об «объективном праве».—В кн.: Тридца-

тые годы. Париж, 1931; Пути и судьбы марксизма. От Маркса и Энгельса к Ленину и Сталину. Берлин, 1936.

А. П. Огурцов

АЛЕКСИН из Элиды (кон. 4—нач. 3 в. до н. э.)—греческий философ, представитель Мегарской школы, преемник Евбулида (Diog. L. II 109). Судя по сообщаемым у Диогена Лаэртия сведениям, Алексин был прежде всего эристикой, как и его коллега по школе Менедем из Эретрии,—главным содержанием его сочине­ний (не сохранились) были споры, за увлечение которы­ми его прозвали 'EXey^lv (Опровергатель, в пер. М. Л. Гаспарова Укусин). Излюбленной мишенью Алек­сина был стоик Зенон из Китая, чьи доказательства разумности и одушевленности космоса (см. SVF I lll=Sext. Emp. Adv. Math. IX 104) он пародировал следующим образом: «Способный к поэтическому твор­честву лучше неспособного, а грамотный—неграмотного, и так же в случае со всеми остальными искусствами: тот, кто в них разбирается, лучше того, кто не разбирается; но нет ничего лучше космоса. Следовательно, космос спосо­бен к поэтическому творчеству и грамотен» (Adv. Math. К 108—9). Секст называет этот силлогизм Алексина «передергиванием» «7tapapoX.ll». Но сами стоики внима­тельно отнеслись к критике,—Аристон Хиосский написал специальное сочинение «Против возражений Алексина» (SVF I 333 [12]).

Лит.: Giannantoni G. (ed), Socratis et Socraticoram Reliquiae, vol. 2. Naples, 1991; During K. Die Megariker Kommentierte Sammlung der Testimonien. Amst., 1972.

M. А. Солопова

АЛЕН (Alain) (псевд.; наст. фам. и имя Шартье Эмиль Опост (Chartier Emile Auguste)) (3 марта 1868, Мортань-о-Перш, Франция—2 июня 1951, Везине)—французский философ, литератор, публицист. Получил философское образование в Эколь Нормаль, с 1893 по 1933 преподавал философию и риторику в ряде учебных заведений, в т. ч. в Лицее Анри-IV в Париже; выступал как публицист в раз­личных периодических изданиях; в 1951 был удостоен выс­шей премии Франции в области литературы. Для Алена назначение философии—научить человека мудрости и ис­кусству жить достойно. Он излагает свою концепцию в форме эссе, изречений (propos) и трактатов, посвящен­ных широкому кругу проблем философии, морали, науки, искусства, педагогики, актуальным социально-политиче­ским вопросам. Продолжая традицию рефлексивной фи­лософии Декарта и Канта, Ален уделяет особое внимание теории суждения. Благодаря суждению разум создает по­рядок из хаоса; способность суждения лежит в основе мышления, познания и моральных поступков. С точки зрения Алена, важнейшими характеристиками человечес­кого бытия являются свобода духа и способность к твор­честву. Высшая этическая добродетель —мудрость в сто­ическом смысле, позволяющая личности добиться неза­висимости от внешних обстоятельств и собственных стра­стей, прийти к состоянию душевного равновесия и счастья. В морали не существует вечных и безусловных норм, единственное абсолютное этическое требование — стреми­ться быть свободным.

Соч.: Oeuvres completes en 4 volumes dans la collection de la Pleiade. P., 1958; Systeme des beaux-arts. P., 1920; Elements de philosophic P.,

1941; Lettres sur la philosophie premiere. P., 1955; Les Passions et la 1960.

Лит.: Maurois A. Alain. P., 1952; Pascal G. Pour connaltre la pensee d'Alain. P., 1957; Alain educateur. P., 1964; BndouxA. Alain. P., 1964; Reboul 0. L'Homme et ses passions d'apres Alain. P., 1968; L'ldee de philosophie chez Alain. P., 1970; HyppoliteJ. L'existenee, l'imaginaire et la valeurchez Alain. Alain et les dieux. P., 1971; L'education selon Alain. P., 1974; Compte-Sponville A., Alain entie Jardin et Portique. Une 4ducation philosophique. P., 1989.

О. И. Мачульская