Открытие исчисления бесконечно малых величин и спор с Лейбницем

В первые годы учения в колледже Св. Троицы в Кембридже Ньютон занимался преимущественно математикой: арифметикой,

256 Научная революция

тригонометрией и особенно геометрией, изучая ее по «Началам» Евклида, которые прочел с легкостью, и по «Геометрии» Декарта, стоившей ему гораздо больших трудов, особенно вначале. Как уже говорилось, Барроу быстро заметил выдающиеся способности своего ученика, особенно он оценил его новые идеи в области математики. И когда в 1669 г. он получил от Ньютона сочинение «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов», написанное в предыдущие три года, он отдал ему свою кафедру в Кембриджском университете. В действительности (и это важно в свете спора Ньютона с Лейбницем) первые работы Ньютона по математике написаны еще раньше. Через четыре года после «Анализа...» появляется трактат «Метод флюксий и бесконечных рядов» (Mcthodus fluxionum et seriarum infinitarum), который суммирует первые исследования. Это исследование бесконечно малых величин, т. е. речь идет о малых вариациях определенных величин, их отношений, позже названных производными дериватами, и их сумм под названием интегралов. При работе важным инструментом стала аналитическая геометрия Декарта, а именно: перевод кривых и поверхностей в алгебраические уравнения. Кроме того, он использовал исследования Франсуа Виета (1540—1603), особенно работу «Введение в аналитическое искусство», в которой разрабатывается приложение алгебры к геометрии посредством введения рудиментов буквенного счета с соответствующей символической записью. Для своих дальнейших математических исследований Ньютон использует работу «Ключ математики» Уильяма Отреда (1574—1660) и многие работы Джона Уоллиса (1616—1703).

Импульсом к исследованиям бесконечно малых величин послужили проблемы измерения твердых тел, т. е. стереометрия. Крупнейшим исследователем в этой области стал Бонавентура Кавальери (1598(?)—1647), описавший в своей работе «Геометрия, развитая новым способом при помощи неделимых непрерывного» (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota),

опубликованной в 1635 г., принцип, который сегодня носит его имя: если при пересечении двух тел плоскостями, параллельными некоторой заданной плоскости, получаются сечения равной площади, то объемы тел равны. Изучение бесконечно малых величин было подготовлено также работой Кеплера «Новая стереометрия винных бочек» (1615); активным распространителем метода Кавальери был Эванджелиста Торричелли (1608— 1647). Пьер Ферма (1601—1665) дает методу более строгую математическую формулировку. Опираясь на насле-

Исаак Ньютон 257

дие предшественников, Ньютон с самого начала ссылается на данные акустики и оптики, т. е. на те отрасли физики, которые он в то время изучал. И очень скоро в его математических трудах четко проявится физическая основа.

Первый итог исчислений бесконечно малых величин Ньютон опубликует позже, в 1687 г., в начале своего главного сочинения «Математические начала натуральной философии».

В1711 г. выйдет сочинение, написанное в 1669 г., «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов»; в 1704 г., в качестве приложения к трактату «Оптика», увидит свет «Трактат о квадратуре кривых» — труд 1676 г.; вышеупомянутый «Метод флюксий и бесконечных рядов», написанный в 1673 г. на латинском языке, выйдет в английском варианте только в 1736 г., т. е. уже после смерти автора.

Но обратимся к теории, названной самим Ньютоном теорией переменных. Если в первых трудах он развивает «алгебраическое» изучение проблемы, особенно на базе трудов Ферма и Уоллиса, то вскоре основанная на знании физики, а точнее, механики интуиция укажет ему верное направление для разрешения проблемы. Благодаря этой концептуальной основе Ньютону удалось выйти за рамки определения линий только как совокупности точек: теперь он рассматривает их как траектории движения точки; в результате плоскости воспринимаются как движение линий, а объемные тела — как движение плоскостей, описанные через изменение ординаты, в то время как абсцисса растет с течением времени.

Для этого он вводит х', у', z', чтобы обозначить скорость точки в трех координатах-направлениях. Отсюда берут начало различные проблемы, и особенно две: как рассчитать отношения переменных при известных параметрах, и наоборот.

Вчастном случае механики: известно расстояние в функции времени, как вычислить скорость, и наоборот: при известных скорости и времени как вычислить пройденный путь? В современных терминах: вывести пространство из временных отношений и интегрировать в скорости. Не вдаваясь слишком в технические детали, необходимо тем не менее сказать, что Ньютону удалось доказать многие важные правила дифференциального и интегрального исчисления; кроме того, он ввел понятие второй производной (производной производной; в случае механики: ускорение) и производной любого порядка; он строго теоретически обосновал связь между про-

258 Научная революция

изводной и интегралом и решил первые дифференциальные уравнения (с одной неизвестной

функцией). Из вышеперечисленного явствует, что механика внесла ощутимый концептуальный вклад в выработку новой математической теории. Ньютон рассматривал математику с точки зрения инструментальной концепции: математика для него служила языком описания природных явлений. В этом его позиция совпадала с позицией Гоббса.