Балансовый метод и модели Леонтьева в планировании инновационных проектов

Рассмотрим возможность использования балансового метода в качестве инструмента планирования инновационного процесса при многопроектном управлении. Классические модели межотраслевого баланса вводятся при следующей системе допущений:

- народное хозяйство является сочетанием nотраслей (илиnпродуктов);

- в каждой отрасли производится только один продукт и одним способом;

- всю продукцию можно разделить на промежуточную и конечную.

Формально балансовая модель может отражать воспроизводство с любой степенью детализации. Однако практическое применение имеют только агрегированные (макроэкономические) балансовые модели. Примером моделей данного типа являются модели межотраслевого баланса (МОБ), оперирующие такими экономическими агрегатами, как отрасли производственной и непроизводственной сферы, социальные группы, агрегированные виды продукции, ресурсов и потребностей, целевые программы. Покажем, что введенная таким образом модель МОБ может быть применена для многопроектного управления. В качестве объект многопроектного управления будем рассматривать проект класса мегапроект – целевую программу (см. гл. 2). Напомним, что программа – это развернутый по времени, сбалансированный по ресурсам, взаимоувязанный по отношению к общей цели перечень мероприятий различного ранга (т.е. различных моно- и мультипроектов, реализуемых в рамках программы).

Отличительной особенностью методики МОБ является принцип “чистой” отрасли. Под “чистой” отраслью понимается производство определенного вида продукции или группы однородных видов продукции. В разрезе народного хозяйства в целом – это существенное допущение. Однако в рассматриваемом случае, проект, входящий в программу может без ограничений описываться в качестве «чистого» проекта (по аналогии с отраслью). Это возможно по определению - именно таким образом формируется целевая программа.

Формально все расчеты на основе модели МОБ исходят из допущения, что каждый вид продукции может производиться не более чем одним способом. Реальный смысл вводимого в модель единственного производственного способа для каждого вида продукции состоит в том, что этот способ является комбинацией разных способов, т.е. усредненным производственным способом. Это «усреднение» различных способов (расчет средневзвешенных отраслевых коэффициентов прямых затрат) осуществляется на стадии формирования исходных данных для модели МОБ.

В модели предполагается, что в каждом производственном процессе получается лишь один вид продукции. Так как каждый вид продукции производится только одним способом, то общее число способов всегда равно числу проектов.

В рамках многопроектного управления, безусловно, выполняется и третье ограничение модели МОБ. В зависимости от вида продукции (результата) проекты, входящие в программу могут быть разделены на:

- проекты, результатом которых является промежуточная продукция;

- проекты, результатом которых является конечная продукция.

Следовательно, при многопроектном управлении снимаются или безусловно выполняются ограничения на использование балансового метода.

В основе модели целевой программы (как и модели Леонтьева в классическом варианте) лежит многопродуктовая модель экономики.

Коротко рассмотрим структуру экономики как объекта математического моделирования. Одновременно приведем понятийный аппарат математической экономики, в основе которого - экономические категории.

При выполнении своей главной функции экономическая система осуществляет следующие действия: размещает ресурсы, производит продукцию, распределяет предметы потребления и осуществляет накопление (рис.28).

Производ- Экономика

ственные

ресурсы Валовый внутренний

Производство

ТрудовыеYС

ресурсы I

Рис.28. Обобщенная модель экономики как метасистемы

Будучи подсистемой общества, экономика в свою очередь – сложная метасистема, состоящая из производственных и непроизводственных хозяйственных или экономических единиц, находящихся в производственно-технологических и/или организационно-хозяйственных связях друг с другом.

По отношению к экономической системе каждый член общества выступает в двоякой роли: с одной стороны, как потребитель, а с другой – как работник. Кроме рабочей силы, материальными ресурсами являются природные ресурсы и средства производства.

Средства производства разделяются на средства (орудия) труда, которые участвуют в нескольких производственных циклах вплоть до их замены вследствие морального или физического износа, и предметы труда, которые участвуют в одном производственном цикле.

Накопленные средства производства составляют производственные фонды, состоящие из основных производственных фондов (т.е. накопленных средств труда) и оборотных фондов (т.е. накопленных предметов труда).

Основные производственные фонды (ОПФ) в течение длительного времени обслуживают процесс производства, сохраняя при этом свою натуральную форму и частично (в меру изнашивания) участвуют в образовании стоимости производимого в данном году продукта. Простое воспроизводство (восстановление) ОПФ осуществляется за счет амортизационных отчислений, расширенное воспроизводство – в первую очередь за счет капвложений.

Оборотные фонды – предметы труда, находящиеся в процессе производства, включающие производственные запасы и предметы труда, которые входят в незавершенную продукцию.

В результате функционирования экономики в течение определенного периода (например, в течение года) все отрасли материального производства (промышленность, строительство, транспорт и т.п.) создают валовой внутренний продукт (ВВП). В натурально-вещественной форме ВВП распадается на средства труда и предметы потребления, в стоимостной форме – на фонд возмещения выбытия основных фондов (амортизационный фонд) и вновь созданную стоимость (национальный доход).

В процессе создания ВВП производственная подсистема экономики производит и вновь потребляет промежуточный продукт – это предметы труда, использованные для текущего производственного потребления, их стоимость целиком переходит в стоимость средств труда или предметов потребления, входящих в ВВП.

В качестве расчетного вспомогательного показателя может быть использован валовой выпуск – суммарная стоимость ВВП и промежуточного продукта, при этом стоимость предметов труда учитывается дважды: в промежуточном продукте и в ВВП.

Промежуточная продукция – это топливо, энергия, сырье, материалы, комплектующие и т.п.; отсутствует абсолютно четкая грань между промежуточным продуктом и предметом потребления.

Нематериальным ресурсом наряду с финансами является профессионально-интеллектуальный потенциал общества.

Продолжим рассмотрение возможности использования известных макроэкономических моделей для исследования многопроектного управления с однопродуктовой (для нашего случая однопроектной) динамической макроэкономической модели. На рис.2 выделены факторы, характеризующие производство: труд (L), средства труда – основные производственные фонды - ОПФ (K) и предметы труда (W*). Последние включают природные ресурсы (W) и предметы труда (W*), возвращаемые в производство как часть совокупного общественного продукта.

Результатом производственной деятельности является валовый продукт - ВП (X), распределяемый в блоке P_xна производственное потребление (W), и конечный продукт (Y). В свою очередь, конечный продукт (Y) делится в блоке распределения P_yна валовые капвложения (I) и непроизводственное потребление (C). Валовые капвложения (I) делятся на амортизационные отчисления (A) и чистые капвложения, идущие на расширение производственных фондов (блок P_I).

Однопродуктовые модели - это модели, изучающие свойства и тенденции изменения взаимосвязанных агрегированных макроэкономических показателей, таких, как ВП, КП, трудовые ресурсы, ПФ, КВ, потребление и т.д. На рис 29. показаны эти взаимосвязи.

Рис.29

На макроуровне блок распределения P_xпоказывает взаимосвязь между ВП X, производственным потреблением W и КП Y:

X=W+Y. (1)

Блок P_yделит КП на две составляющие: валовые капвложения (КВ) I и непроизводственное потребление C, т.е.

Y=I+C. (2)

Одна из трудностей формализации является учет распределенного запаздывания прироста ОПФ от КВ.

Предположим, что валовые инвестиции полностью расходуются на прирост ОПФ в том же году и на амортизационные отчисления:

а) в дискретном варианте эта взаимосвязь имеет вид

I_t =qK_t+A, (3)

где K_t= K_t+1- K_t- прирост ОПФ в году t; q - параметр модели; A =K_t- амортизационные отчисления;- коэффициент амортизации; K_t- ОПФ в году t;

б) при переходе к непрерывному аргументу аналогом этого уравнения является

I=q(dK/dt) +K(3’)

Отсюда можно получить уравнение движения фондов:

dK/dt= 1/q(I-K) (3”)

Объединим уравнения (1) - (3), получим однопродуктовую динамическую микромодель в дискретном варианте:

X_t = W_t + qK_t + K_t + C_t.

Если считать производственные затраты W пропорциональными выпуску продукции X, т.е.

W = aX, (4)

то дискретная однопродуктовая динамическая модель примет вид

X_t = aX_t + qK_t + K_t + C_t,

или

K_t = 1/q[(1 - a)X_t - K_t - C_t],

а в непрерывном варианте - соответственно

dK/dt= 1/q[(1-a)X-K-C].

В некоторых случаях используют упрощенные варианты однопродуктовой динамической модели, например, открытая и замкнутая модели.

В случае открытой однопродуктовой динамической модели Леонтьева предполагают, что все валовые КВ идут на ввод в действие новых ОПФ (ОПФ не изнашиваются). Считая, что прирост выпуска продукции X_t = X_t+1- X_tпропорционален КВ, т.е.

I_t=X_t, (5)

из уравнений (1), (2), учитывая (4), (5), получим однопродуктовую открытую динамическую модель Леонтьева:

X_t=aX_t+X_t +C_t.

В непрерывном варианте однопродуктовая динамическая макромодель Леонтьева имеет вид

X=aX+(dX/dt) +C. (6)

С математической точки зрения эта модель представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

В случае замкнутой однопродуктовой модели Леонтьева предполагают, что непроизводственное потребление C(t) идет полностью на восстановление рабочей силы L(t). Тогда, введя норму потребления (t), получим

C(t) =(t)L(t). (7)

Далее, если считать, что затраты труда пропорциональны выпуску продукции, то

L(t) =b(t)X(t), (8)

где b(t) - норма трудоемкости.

Подставим (7) в (6) с учетом (8) получим “замкнутую по потреблению” модель расширенного воспроизводства

X = a(t)X(t) + (t)[dX(t)/dt] + (t)b(t)X(t),

которая описывается однородным дифференциальным уравнением

dX(t)/dt-p(t)X(t) = 0, (9)

где

p(t) = [1 - a(t) - (t)b(t)] / (t).

Тогда развитие экономики определяется решением уравнения (9):

X(t) =X₀e^{ p(t)dt}

Предполагают, что непроизводственное потребление является известной функцией времени. Тогда закон развития экономики определим из модели (6), которая с математической точки зрения является неоднородным дифференциальным уравнением вида

dX/dt+p₁(t)X(t) =(t),

p₁(t) = -[(1-a(t))/(t)];(t) = -C(t)/(t), с решением

_t

X(t) = e^{- p1(t)dt} ( (t)e^{ p1(t)dt}dt + X₀).

⁰

Итак, можно сделать следующий вывод. Выделение из КП Y накапливаемой части I приводит к рассмотрению динамических моделей и применению для исследования в качестве математического аппарата теории дифференциальных (в непрерывном случае) и конечно-разностных уравнений (в многошаговом варианте).

Рассмотрим двухпродуктовую (или двухпроектную – при многопроектном управлении) динамическую макроэкономическую модель. Предположим, что экономика представлена двумя отраслями (случай, когда целевая программа структурирована на два мультипроекта, на два направления программы), каждая из которых выпускает ВП X¹, X²и затрачивает на воспроизводство труд, средства труда и предметы труда. ВП каждой отрасли распределяется в блоках Px¹, Px²(рис.3.) соответственно на КП Y¹, Y²отраслей и производственное потребление W¹, W²:

X¹=W¹ +Y¹,

X²=W²+Y².

Однако в двухпродуктовой модели промежуточный продукт Wⁱ(i = 1,2) расходуется на воспроизводство ВП не только своей отрасли, но и другой. На рис.30. распределение промежуточного продукта осуществляется в блоках Pw¹и Pw²:

W¹ = W¹₁ + W¹₂,

W² = W²₁ + W²₂.

Рис.30

Если предположить, что межотраслевые потоки Wⁱ_j(i,j = 1,2) из i-й отрасли в j-ю отрасль пропорциональны объему ВП X^j_j-й отрасли:

Wⁱ_j= aⁱ_jX_j,

где aⁱ_j- норма затрат продукции i-й отрасли на воспроизводство единицы продукции j-й отрасли, - то распределение ВП отраслей можно представить в виде

X¹ = a¹₁X¹ + a¹₂X² + Y¹,

X² = a²₁X¹ + a²₂X² + Y² (10)

Из рис.3. видно, что блоки Pw¹и Pw²участвуют в межотраслевом обмене промежуточного продукта и образуют систему межотраслевых связей. Вычленение этой системы из рассматриваемой динамической модели приводит к модели МОБ. Модель МОБ для n = 2 отраслей представлена на рис.30.

Дальнейшее деление КП Y¹, Y²отраслей I и II соответственно на валовые КВ I¹, I²и непроизводственное потребление C¹, C²осуществляется в блоках Py¹и Py²:

Y¹=I¹ +C¹,

Y²=I²+C², (11)

что приводит к вводу в балансовое уравнение составляющих I¹, I², связь которых с ВП выражена конечно-разностными (в дискретном варианте) или дифференциальными (в непрерывном варианте) уравнениями.

В двухпродуктовой модели в простейшем варианте будем считать, что все валовые КВ идут на развитие экономики (амортизационные отчисления в этом случае не учитываем). Тогда расход валовых КВ I¹, I²каждой отрасли на увеличение ОФ осуществляется соответственно в блоках P_I1и P_I2:

I¹ =I¹₁+I¹₂,

I²=I²₁+I²₂. (12)

В простейшей динамической модели считаем, что поток валовых КВ Iⁱ_j(i,j = 1,2) из i-й отрасли в j-ю пропорционален приросту ВП j-й отрасли:

Iⁱ_j=ⁱ_jX_j, j = 1,2. (13)

Подставляя в (10) формулы (11)-(13), получим открытую двухпродуктовую модель в дискретном варианте:

X¹ = a¹₁X¹ + a¹₂X² + ¹₁X¹ + ¹₂X² + C¹

X² = a²₁X¹ + a²₂X² + ²₁X¹ + ²₂X² + C² (14)

В непрерывном варианте модель (14) примет вид

X¹ = a¹₁X1 + a¹₂X² + ¹₁dX¹/dt + ¹₂dX²/dt + C¹,

X² = a²₁X¹ + a²₂X² + ²₁dX¹/dt + ²₂dX²/dt + C²,

Задавая в базисном году t₀X¹(t₀) = X¹₀, X²(t₀) = X²₀и предполагая известными потребления во времени C¹(t) и C²(t), видим, что задача развития экономики, заданной двумя отраслями, сводится к системе линейных неоднородных уравнений. С математической точки зрения эта задача является задачей Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Теперь перейдем к многопродуктовой модели (целевая программа, содержащая nмонопроектов), которая впервые была сформулирована В.В. Леонтьевым как метод межотраслевого анализа или анализ «затраты — выпуск» (input-outputanalysisилиI/Qanalysis). Понятие «отрасль» здесь, как уже отмечалось выше, условное, отражающее эмпирическую совокупность, построенную на какой-либо статистической классификации. Межотраслевой анализ базируется на использовании статистических таблиц, называемых «межотраслевыми», которые позволяют представить картину народно-хозяйственной динамики за определенный период (как правило, за один год). Ее содержание составляют связи между отраслями (табл.1).

Строки табл.26 показывают распределение выпуска каждой отраслью обобщенного продукта. Каждая строка характеризуется следующим балансом:

Выпуск данного вида продукции = Промежуточный спрос + Конечный спрос.

Это условие можно записать в виде

_ _ _ _ _ _

х_i = (x_i1 + x_i2 + ... + x_ij + ... + x_in) + Y_i, i = 1, ... , n. (15)

Промежуточный спрос есть часть общего спроса, представляющая закупку данного вида продукта отраслями 1, 2, ... , n в качестве исходных (ресурсных) материалов для производства собственной продукции. Конечный спрос — это закупки конечных продуктов непосредственно для потребления или в качестве инвестиционных вложений.

Таблица 26. Схема межотраслевого баланса

Столбцы табл. 26 показывают структуру затрат или структуру используемых ресурсов каждой отраслью для производства продукции. Для столбцов устанавливается баланс:

Расход отрасли = Промежуточные затраты + Добавленная стоимость,

что можно записать в виде

_ _ _ _ _ _

x_j= (x_1j+x_2j + ... +x_ij+ ... +x_nj) +V_j,j= 1, ... ,n. (16)

Промежуточные затраты определяются стоимостью исходных материалов, закупленных отраслью у других отраслей. Они представляют собой также факторные затраты отрасли в виде добавленной стоимости, то есть в виде вновь созданной стоимости, распадающейся на доход работающих по найму, предпринимательскую прибыль и др.

Для строк и столбцов таблицы межотраслевого баланса имеют место следующие тождества:

Выпуск отрасли = Расходы отрасли,

Общая сумма конечного спроса = Общая сумма добавленной стоимости,

которые математически можно представить как

_ _n _ _ _n_ _

x_i =  x_ij + Y_i =  x_ij + V_i=j, i, j = 1, ... , n,

^{j=1 i=1}

откуда

_n _ _n _

 Y_i=V_j.

^{i=1 j=1}

Таблица межотраслевого баланса позволяет изучать потоки ресурсов, устанавливать зависимости между отраслями. Для более глубокого понимания функционирования экономики, отраженной в табл. 26, введем понятие коэффициента прямых затрат.

Коэффициент прямых затрат определяется как объем ресурса отрасли i, необходимый для производства единицы продукции отрасли j, то есть

_ _

a_ij = x_ij / x_j, i, j = 1, ... , n.

_ _

После подстановки x_ij= a_ijx_jв формулу (15) получаем

_ _n _ _

x_i =  a_ijx_j + Y_i (17)

ⁱ⁼¹

Это вплотную подводит нас к центральному вопросу межотраслевого анализа —

_

как изменится объем выпуска отрасли x, если при фиксированном значении коэффициента

_ _

прямых затрат a_ij значениеY_iизменится на величинуY_i. Для ответа на этот вопрос формулу (17) запишем в матричной форме:

Х = АХ + Y, (18)

Где

_ _

x₁ a₁₁ a₁₂ ... a_1n Y₁

_ a₂₁ a₂₂ ... a_2n _

X = x₂ ; A = ........................ ; Y = Y₂

... ........................ ...

_ a_n1 a_n2 ... a_nn_

x_nY_n

Полученная формула (18) называется Леонтьевской моделью межотраслевого баланса.

Сучетом принятых допущений (см. выше) распределение ВПnотраслей примет вид:

X¹ = x¹₁ + x¹₂ + … + x¹_n + Y¹,

X² = x²₁ + x²₂ + … + x²_n + Y²,

……………………………… (19)

Xⁿ=xⁿ₁ +xⁿ₂+ … +xⁿ_n+Yⁿ

Где Xⁱ(i= 1, 2, …,n) – интенсивность ВПi-й отрасли;

Yⁱ (i= 1, 2, …,n) – интенсивность КПi-й отрасли;

xⁱ_j(i,j= 1,…,n) - интенсивность межотраслевого потока продукции изi-й отрасли на воспроизводство ВПj-й отрасли.

Полученная система уравнений связи дает бесчисленное множество сбалансированных решений: система из nуравнений содержит 2n+n²неизвестныхX¹, …,Xⁿ,Y¹,…,Yⁿи матрицу межотраслевых потоков (xⁱ_j). Рассматриваемая модель нуждается в доопределении. Для того чтобы сократить число переменных, предполагают, что межотраслевые поставкиxⁱ_jпродукцииi-отрасли (i-проекта) вj-ю отрасль (j-проекта) зависят линейно от объема ВПX^jj-го потребителя и от нормы материалоемкостиaⁱ_j, определяющей затраты продукцииi-й отрасли на воспроизводство единицы ВПj-й отрасли, т.е.

xⁱ_j = aⁱ_jX^j_j, i,j = 1,…, n (20)

Тогда система уравнений (19) с учетом (20) принимает вид:

X¹ = a¹₁X¹ + a¹₂X² + … + a¹_n Xⁿ + Y¹,

X² = a²₁X¹ + a²₂X² + … + a²_n Xⁿ + Y²,

……………………………… (21)

Xⁿ = aⁿ₁ X¹ +aⁿ₂X² + … + aⁿ_nXⁿ + Yⁿ

Или

_n

Xⁱ =  aⁱ_jX^j + Yⁱ, i =1,…,n (21’)

^j=1

Система уравнений (21) или (21’) в отличие от системы уравнений (19) содержит 2nнеизвестных (компоненты ВП и КПnотраслей). Для получения единственного решенияnкаких-либо переменных задают, например, компоненту вектора ВПXи по ней определяют компоненты вектора КПY(XY) либо, наоборот, по фиксированному вектору КПYопределяют вектор ВПX(YX). Таким образом, из уравнений связи (19) получают две задачи: задачу наблюдаемости и задачу синтеза.

Задача наблюдаемости (XY) отражает процесс распределения ВП. Она является основой для составления отчетных балансов. Здесь входом в модель (или экзогенным фактором) является вектор ВПX, а выходом – вектор КПY. Матричное представление этой модели

(E–A)X=Y,

где E– единичная матрица, элементы главной диагонали которой 1, а остальные элементы матрицы – 0.

Задача синтеза (YX) отражает содержание процесса планирования ВПXпо заданному вектору КПY. Она отвечает на вопрос, в каком объеме надо планировать ВП отраслейX, чтобы обеспечить желаемый выпуск КПY.

В задаче планирования ВП Xсинтез уравнений связи разрешается относительно вектора ВПX:

(E–A)^-1Y=X. (22)

Если во всех полученных моделях (15) – (22) вместо iиjотраслей пониматьiиjпроекты, то без потери общности эти модели верны для многопроектного управления.

Покажем эффективность введения моделей МОБ для многопроектного управления на стадии планирования.

1. Расчеты сбалансированных уровней производства исходя из вариантов КП (задача синтеза YX).

Решаем систему уравнений X=AX+Yпри различных векторахY.

Расчеты значительно упрощаются, если предварительно находится матрица полных затрат (Е – А)^-1. Тогда при корректировке заданий по КП легко определять необходимые изменения в планах производства:

X= (E–A) -Y.

Другими словами, определим объем ВП программы, который обеспечит желаемый выпуск КП программы в соответствии со следующим матричным уравнением:

(E-A)^-1Y=X,

где (E - A)^-1- оператор планирования, преобразующий вектор КП в вектор ВП или (в соответствии с его экономическим содержанием) - матрица коэффициентов полных затрат программы.

Обозначим элементы матрицы (Е - А)^-1через c_ij, i,j = 1,...,n, тогда матрица коэффициентов полных затрат программы C = (c_ij), i,j=1,...,n, элементы которой c_ijпредставляют собой затраты ВП проекта i, идущие на воспроизводство единицы КП проекта j.

Матрица коэффициентов косвенных затрат определяется как разность между матрицей коэффициентов полных затрат и матрицей коэффициентов прямых затрат программы.

Матрица коэффициентов полных затрат С является основой планирования программы. Процесс планирования значительно упростится, если заранее определим ее элементы, прежде всего элементы матрицы А.

Главная проблема расчетов по модели – подготовка исходной информации, т.е. определение плановых коэффициентов затрат и вариантов КП.

Существует три основных подхода к определению коэффициентов затрат:

• Статистическое прогнозирование;

• Аналитический подход;

• Использование информации из других моделей.

Методы статистического прогнозирования предполагают наличие достаточно длинных динамических рядов коэффициентов. Простейшая форма статистического прогноза - экстраполяция коэффициентов затрат. Более совершенный метод - построение уравнений регрессии, в которых в качестве аргументов выступает не только время, но также экономические, технологические, организационные факторы, определяющие изменение коэффициентов затрат.

Среди аналитических методов наибольшую известность получил т.н. метод RAS, предложенный Р.Стоуном. Название данного метода связано с формулой расчета коэффициентов на плановый период: A¹= RA⁰S, где A⁰- матрица базисного года, A¹- матрица планового года, R - диагональная матрица коэффициентов r_i, характеризующих среднее изменение коэффициентов затрат продукции i (по строке), S - диагональная матрица коэффициентов s_j, характеризующих общее изменение материалоемкости продукции j (по столбцу). Т.о., коэффициенты матриц R и S (их число равно 2n) выражают общие гипотезы об изменении материалоемкости производства, на основе которых определяются все коэффициенты матрицы A¹(максимальное их число равно n²). Метод RAS может использоваться при проведении ориентировочных плановых расчетов.

Важной особенностью методики определения плановых коэффициентов затрат является дифференцированный подход к различным коэффициентам. Исследования матриц МОБ приводят к выводу, что только незначительная доля всех коэффициентов оказывает существенное влияние на объемы производства. К числу существенных можно, например, отнести такие коэффициенты a_ij, изменение которых на 100% изменяет объем производства какой-либо отрасли более чем на 1%. Аналитические методы имеет смысл применять для определения только важнейших коэффициентов; для несущественных коэффициентов вполне достаточно использовать более простые и менее трудоемкие методы (экстраполяция, экспертные оценки, RAS) либо вообще исключить эти коэффициенты из матрицы А, фиксируя общий расход продукции соответствующих отраслей и ресурсов на “второстепенные” нужды в правых частях уравнений МОБ.

2. Обоснование проекта со стороны производственных ресурсов (задача наблюдаемости XY).

В математической модели МОБ различные функциональные элементы КП не различаются: модель воспринимает только суммарные значения КП каждого вида - y_i.

Для планирования КП используются различные методы, можно выделить два основных направления:

• использование макроэкономических моделей для определения общих объемов КП с последующей детализацией ее отраслевой структуры;

• использование структурных моделей отдельных функциональных элементов КП.

В рамках статической модели наибольшие трудности возникают при определении плановых объемов КВ. Введение в статическую модель КВ как экзогенных величин решает только одну задачу: определить влияние того или иного вектора КВ на изменение объемов производства и потребностей в ресурсах. Для решения более широкого круга задач балансовой увязки объемов производства, КВ и КП требуется дополнять статическую модель некоторыми динамическими соотношениями.

Модель МОБ для плановых расчетов включает ограничения по общим ресурсам и производственным мощностям. При краткосрочном планировании производственные возможности ограничены в основном сложившимся распределением трудовых ресурсов и ОПФ.

При использовании модели для краткосрочного планирования главными ограниченными ресурсами являются производственные мощности, понимаемые как максимально возможные объемы производства соответствующих видов продукции (x_jN_j).

На основе данных о производственных мощностях проводятся расчеты сбалансированных вариантов производства и КП.

При использовании модели в перспективном планировании методика обоснования производственных возможностей программы значительно усложняется. ОПФ и производственные мощности, необходимые в последнем году планового периода, в значительной мере создаются в течение планового периода. Поэтому статическая модель может использоваться только как составная часть динамической модели (иметь «входы» и «выходы», соединяющие ее со статическими моделями для других лет планового периода) либо дополняться динамическими соотношениями.

По некоторым видам продукции (проектов) существующие производственные возможности должны использоваться максимально (они лимитируют удовлетворение потребностей), а по другим – объемы производства должны быть рассчитаны в зависимости от потребностей в КП. Целесообразность фиксации некоторых объемов производства в расчетах по модели вытекает также из технологических и социально-экономических особенностей проектов.

Сформулируем задачу плановых расчетов по модели МОБ со смешанным составом неизвестных.

Пусть все виды продукции (проекты) разбиваются на две группы:

1. Продукты (mвидов), по которым искомыми являются объемы производства – векторX₁, а задаются объемы КП – векторY₁=C₁(оба вектора порядкаm);

2. Продукты (m-nвидов), по которым задаются объемы производства (например, в соответствии с заданиями перспективных планов) – векторX₂=Q₂, а искомыми являются показатели КП – векторY₂(оба вектора порядкаn-m).

Тогда решение системы относительно X₁ иY₂возможно следующим образом. Вначале решается подсистема порядкаm

(E–A₁₁)X₁=C₁ +A₁₂Q₂

и находится вектор X₁. Затем векторX₁подставляется в подсистему порядкаn-m

Y₂= (E–A₂₂)Q₂–A₂₁X₁,

каждое уравнение которой содержит по одному неизвестному и решается независимо.

Аналогично решается задача корректировки плана, когда требуется учесть влияние отклонений от плана выпуска продукции второй группы продуктов (X₂=Q₂) на валовые выпуски первой группы продуктов (X₁) и КП второй группы (Y₂) при условии выполнения заданий по КП первой группы (Y₁= 0).

Взаимозависимости проектов в процессе реализации программы количественно могут быть выражены системой коэффициентов прямых, косвенных и полных затрат продукции и ресурсов. Каждый коэффициент полных затрат представляет сумму прямых и косвенных затрат, обусловленных выпуском единица определенного вида продукции.

Проиллюстрируем сказанное, решив упрощенную задачу. Сформулируем задачу, когда при реализации разнородных проектов (изготовлении разнородной продукции) возможна конкуренция технологий отраслей производства (технологий реализации проектов).

Для реализации трех типов проектов, i = 1,2,3 применяются три вида оборудования (s = 1,2,3). Для реализации проектов первых двух типов используется по три технологии j =1,2,3, третьего вида - две технологии. Величина нормозатрат на выпуск единицы готовой продукции b_isj, фонд рабочего времени b_s(машиночасы) и планируемая прибыль P_ijединицы изделия приведены в табл. 27.

Определить оптимальные количества у.ед. изделий и выбрать технологии их изготовления на имеющемся оборудования из условия максимизации прибыли (1 у.ед. = 10 изделий).

Алгоритм решения.

1. Целевая функция - максимизация суммы прибыли

Z=P_ijx_ijmax

^{i j}

Таблица 27. Исходные данные к оптимизационной модели Леонтьева

или

Z=11x₁₁ + 7x₁₂ + 5x₁₃ + 9x₂₁ + 6x₂₂ + 7x₂₃ + 18x₃₁ + 15x₃₂  max

2. Ограничения по фонду рабочего времени:

 b_isjx_ijb_s

^{i j}

или в другой записи

2x₁₁ + 2x₁₂ + x₁₃ + 3x₂₁ + 4x₂₃ + 3x₃₁ + 3x₃₂ 20,

3x₁₁ + x₁₂ + 2x₁₃ + x₂₁ + 2x₂₂ + 5x₃₁ + 6x₃₂ 34,

x₁₂ + 3x₁₃ + 2x₂₁ + 3x₂₂ + x₂₃ + x₃₁ 48.

3. Итак, линейная задача оптимизации содержит 8 основных переменных прямой задачи и три ограничения. Для ее решения используем электронные таблицы Excel.

В табл.28 приведены результаты этого решения. Эти результаты представлены в форме, очень удобной для всестороннего экономического анализа. Такой анализ позволяет принять достаточно обоснованные решения по управлению системой отраслей, промышленных объединений, сотрудничающих фирм (проектов в рамках программы).

Таблица 28. Результат оптимального решения в модели Леонтьева

4. Из табл.28 следует, что в оптимальный план не вошли нерентабельные количества изделий (результатов проектов) x₁₁, x₂₃, x₃₁, x₃₂.

5. Составим двойственную задачу оптимизации:

а) целевая функция - минимизация стоимости затрат ресурсов:

f= 20V₁+ 34V₂+ 48V₃min

б) ограничения по размеру прибыли:

2V₁+ 3V₂11,

2V₁+ V₂+ V₃7,

V₁+ 2V₂+ 3V₃5,

3V₁+ V₂+ 2V₃9,

2V₂+ 3V₃ 6,

4V₁ + V₃ 7,

3V₁+ 5V₂+ V₃18,

3V₁+ 6V₂15.

Условие неортицательности переменных V_i0.

Результаты решения двойственной задачи содержатся в таблице. Из них следует, V^*₁= 2, V^*₂= 3 ден.ед./ед.продукции. Двойственная же оценка “дорогих” изделий (результатов проектов) V^*₃= 0.

6. Рассчитаем для каждого из не вошедших в оптимальный план типов изделий (результатов проектов) величину недополученной прибыли:

₃

Q^j_i =b^j_isV^*_s, ден.ед./ед.продукции.

^s=1

Например, для x¹₁₁= 0 значение недополученной прибыли будет:

Q¹₁= 2V^*₁+ 3V^*₂= 22 +33 = 13 ден.ед./ед.продукции.

А намечавшаяся прибыль P¹₁=11 ден.ед./ед.продукции. Следовательно, если бы x¹₁₁вошел в оптимальный план выпуска продукции 1-го типа по первой технологии, это принесло бы убытки_уб^j= Q^j_i- P^j_i= 13 - 11 = 2 ден.ед./ед.продукции.

Подсчитанные по такому алгоритму значения _уб^j помещены в табл.29.

Таблица 29. Анализ недополученной прибыли

Наличие убытка объясняется ограниченностью фонда рабочего времени для выпуска более дорогих изделий. Резерв рабочего времени первых двух типов оборудования даст наибольший вклад в получение максимальной прибыли: увеличение на единицу этого резерва увеличит значение целевой функции на 5 ден.ед. Значения возможного убытка показаны в таблице как U^*_ij.