§ 6. Показатели вариации признака
Средние величины раскрывают важную обобщающую характеристику совокупности по варьирующему признаку. Рассчитав их, необходимо уяснить, насколько они показательны, типичны или однородны. Одинаковые средние могут характеризовать совершенно разнородные совокупности. Покажем это на элементарном примере, который будем усложнять по мере расчета новых показателей вариации.
Предположим, что в одном суде 10 осужденным были назначены такие сроки лишения свободы: 1, 2, 3, 3, 4, 9, 10, 12, 13, 15 лет, а в другом также 10 осужденным было назначено: 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8 лет. Средняя арифметическая в обоих случаях будет одинаковой:
Зс, = £*: « = (1+2 + 3 + 3 + 4 + 9 + 10 + 12 + 13 + 15): 10 = 72 : 10 = 7,2 года; х2 = ^х: « = (6 + 6 + 7 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 8 + 8): 10 = 72: 10 = 7,2 года.
Средние равны, а ряды существенно различаются между собой: первый ряд менее однороден, чем второй, следовательно, и средняя первого ряда менее показательна и менее надежна, чем средняя второго.
Для того чтобы наши суждения о различиях подобных вариационных рядов были статистически точными, можно прибегнуть к показателям отклонений различных вариант от средней. Возьмем пока крайние отклонение. В первом ряду отклонения первого члена (1) от средней (7,2) равно-6,2, отклонение десятого члена (15) от средней (7,2) равно+7,8. Во втором ряду аналогичные отклонения равны -1,2 и +0,8. Полученные результаты уже можно математически сопоставлять и измерять. Они подтверждают наши предварительные суждения. Теперь рассчитаем все отклонения значений признаков обоих вариационных рядов от средней арифметической и сведем эти расчеты в табл. 9.
Таблица 9
Расчет отклонений
№ п/п | Первый суд | Второй суд | ||||
Сроки лишения свободы м | Отклонения от средней (х-х) | Квадрат отклонений (*-*)' | Сроки лишения свободы (X) | Отклонения от средней (х-х) | Квадрат отклонений (х-.х) | |
1 | 1 | -6,2 | 38,44 | 6 | -1,2 | 1,44 |
2 | 2 | -5,2 | 27,04 | 6 | -1,2 | 1,44 |
3 | 3 | -4,2 | 17,64 | 7 | -0,2 | 0,04 |
4 | 3 | -4,2 | 17,64 | 7 | -0,2 | 0,04 |
5 | 4 | -3,2 | 10,24 | 7 | -0,2 | 0,04 |
6 | 9 | + 1,8 | 3,24 | 7 | -0,2 | 0,04 |
7 | 10 | +2,8 | 7,84 | 8 | +0,8 | 0,64 |
8 | 12 | +4,8 | 23,04 | 8 | +0,8 | 0,64 |
9 | 13 | +5,8 | 33,64 | 8 | +0,8 | 0,64 |
10 | 15 | +7,8 | 60,84 | 8 | +0,8 | 0,64 |
Итого 72 | 0 | 239,60 | 72 | 0 | 5,6 |
Первый и наиболее простой показатель вариации — это размах вариации R. Он исчисляется в виде разности между наибольшими и наименьшими значениями варьирующего признака:
В первом суде размах вариации наказания оказался равным Л, = 15 - 1 = 14, а во втором — Кг = 8 - 6 = 2. Различия существенны: R} > R2 в 7 раз. Но может случиться так, что и размах вариации будет одинаковым, равным. Например, /{, = 15-10 = 5; /?з = 8-3 = 5, хотя ряды существенно различаются между собой. Размах вариации улавливает только крайние отклонения, но не отражает отклонений от средней всех значений признака в вариационном ряду. Последнее можно получить, если рассчитать отклонения всех вариант от средней (х, - ~х ) + (х2 - ~х) + и т. д. (графы 3 и 6 табл. 9) и исчислить среднюю арифметическую из всех отклонений.
При изложении средней арифметической величины мы установили, что сумма всех положительных (которые больше средней) и всех отрицательных (которые меньше средней) отклонений равна нулю, что мы и видим в итоге граф 3 и 6 табл. 9. Поэтому при расчете средней арифметической из отклонений необходимо абстрагироваться от знаков «+» и «-». В этом случае сумма отклонений £(х - х), разделенная на число отклонений п, а при наличии частот — на число /, и будет средним арифметическим отклонением. В связи с этим расчетная формула будет выглядеть так:
В результате мы получили среднее арифметическое (линейное) отклонение, которое обозначается символом d. Это вторая мера измерения вариации признака.
Среднее арифметическое (линейное) отклонение в статистическом анализе применяется редко. Обычно используют третий показатель вариации — дисперсию, или средний квадрат отклонений. Она обозначается символом а (сигма малая в квадрате) и представляет собой то же среднее арифметическое отклонение (</), но только отклонения возведены в квадрат и из квадратов отклонений исчисляют среднюю величину:
а = — — - , а при наличии частот а =
При расчете дисперсии не надо абстрагироваться от знаков (+ и -) отклонений, так как при возведении в квадрат все знаки отклонений становятся положительными.
Если извлечь корень квадратный из дисперсии, то мы получим следующий, четвертый, показатель вариации — среднее квадратическое отклонение, которое обозначается символом а (сигма малая):
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются наиболее распространенными и общепринятыми показателями вариации изучаемого признака.
В юридической статистике они используются при сравнительных статистических исследованиях, для обоснования ошибки репрезентативности (ошибки выборки) выборочного наблюдения, а также при изучении корреляционных и иных статистических связей между признаками фактора и признаками следствия, или между причиной и следствием.
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение обладают рядом свойств, которые приводятся без доказательств:
1) дисперсия постоянной величины равна нулю;
2) дисперсия не меняется, если все варианты увеличить или уменьшить на какое-то постоянное число Л;
3) если все варианты умножить на какое-то постоянное число А, то дисперсия увеличится в А раз, а среднее квадратическое отклонение — в А раз;
4) если все варианты разделить на какое-то постоянное А, то дисперсия уменьшится в А раз, а среднее квадратическое отклонение — в А раз.
Эти и другие свойства дисперсии могут быть использованы для упрощения и оптимизации техники расчетов.
В графах 4 и 7 табл. 9 мы находим квадрат отклонения каждой варианты и их суммы. Использовав их, мы и рассчитаем дисперсию и среднее квадратическое отклонение для мер наказания 1-го и 2-го судов.
Дисперсия о? = 23,96 для первого суда, а среднее квадратическое отклонение: о, = д/of = ,/23,96 = 4,9 года. ДисПерсия 02 =
= 0,56 для второго суда, а среднее квадратическое отклонение: о2 = v°2 = Д56 = 0,75.
Таким образом, меры наказаний, вынесенные первым судом, отклоняются от среднего на 4,9 года, а вынесенные вторым судом — на 0,75 года. Разница достигает 6,5 раза. Это существенно. Таким образом, средняя второго суда действительно более надежна, типична и показательна.
Пятый (по счету) показатель вариации -- это коэффициент вариации. В отличие от размаха вариации, среднего линейного, среднего квадратического отклонения и дисперсии, которые выражаются в абсолютных и именованных числах, коэффициент вариации является показателем относительным. Он выражается в процентах, обозначается символом У и рассчитывается по формуле:
где V — коэффициент вариации; о — среднее квадратическое отклонение; х средний арифметический показатель.
В наших примерах коэффициент вариации будет равен: 4,9-100%
= > Для первого суда;
0,75-100% 7,2
= 10,4% для второго суда.
Коэффициент вариации предоставляет большие возможности для сравнительных изучений, поскольку сравнивать, например, средние квадратические отклонения вариационных рядов с разными уровнями непосредственно нельзя. Коэффициент вариации в известной мере является критерием типичности средней. Если он относительно большой (например, выше 40%), то это значит, что типичность такой средней очень невысока. И наоборот, если его значение малое, то средняя является типической и надежной.
- Оглавление
- Предисловие
- Раздел первый. Предмет и история юридической статистики Глава 1. Общее понятие и история развития юридической статистики § 1. Общее понятие статистики и ее отраслей
- § 2. Исторический очерк становления статистики
- § 3. История развития юридической статистики как науки
- § 4. Практическое становление юридической статистики в России и других странах
- § 5.Общая характеристика и история мировой криминальной статистики
- Глава 2. Предмет и методы юридической статистики § 1. Предмет юридической статистики
- § 2. Понятие закона больших чисел как математической основы статистических закономерностей
- § 3. Отрасли юридической статистики
- § 4. Методы юридической статистики
- § 5. Значение юридической статистики для юридической науки и практики
- Раздел второй. Методы статистического наблюдения Глава 3. Статистическое наблюдение в юридической статистике § 1. Понятие статистического наблюдения и организация его проведения
- § 2. Организационные формы статистического наблюдения
- § 3. Виды и способы статистического наблюдения
- Глава 4. Учет и отчетность правоохранительных органов, судов и других юридических учреждений § 1. Единый учет преступлений
- § 2. Официальная статистическая отчетность правоохранительных органов
- § 3. Учет административных правонарушений
- § 4. Учет и отчетность судов и органов юстиции
- § 5. Автоматизированные системы обработки данных юридической статистики и их публикация
- § 6. Надежность статистических показателей юридической статистики
- Глава 5. Выборочный метод статистического наблюдения
- § 1. Теоретические основы выборочного наблюдения
- § 2. Определение ошибки выборки
- § 3. Расчет выборочной совокупности
- § 4. Виды отбора единиц выборочной совокупности
- Глава 6. Социологические методы сбора юридической информации
- § 1. Методы опроса и их использование в юридических обследованиях
- § 2. Социологическое наблюдение и социальный эксперимент в юриспруденции
- Раздел третий. Методы сводки и группировки Глава 7. Сводка и группировка материалов статистического наблюдения § 1. Понятие статистической сводки и группировки
- § 2. Виды статистических группировок
- § 3. Табличный способ изложения статистических показателей
- § 4. Графический способ изложения статистических показателей
- Раздел четвертый. Методы статистического анализа Глава 8, абсолютные и относительные показатели § 1. Понятие абсолютных и относительных величин
- § 2. Относительные величины распределения (структуры)
- § 3. Относительные величины интенсивности
- § 4. Относительные величины динамики
- § 5. Относительные величины, характеризующие выполнение плана
- § 6. Относительные величины степени и сравнения
- § 7. Индексы
- § 8. Понятие о рядах распределения абсолютных и относительных величин
- Глава 9. Средние величины и их применение в юридической статистике § 1. Понятие средних величин
- § 2. Виды средних величин
- § 3. Средняя арифметическая
- § 4. Средняя геометрическая
- § 5. Мода и медиана
- § 6. Показатели вариации признака
- § 7. Анализ вариационных рядов
- Глава 10. Ряды динамики § 1. Понятие о рядах динамики и их виды
- § 2. Показатели анализа динамики
- § 3. Выравнивание динамических рядов
- § 4. Способы расчета сезонной динамики
- Глава 11. Статистические методы изучения взаимосвязей §1. Понятие статистических взаимосвязей и причинности
- § 2. Измерение связей между качественными признаками
- § 3. Парная линейная корреляция
- § 4. Иные способы установления взаимосвязей
- Глава 12. Комплексный статистический анализ и его применение в юридической статистике § 1. Понятие статистического анализа
- § 2. Статистические возможности анализа преступности
- § 3. Статистические возможности анализа причин преступности, личности правонарушителей и мотивации преступного поведения
- § 4. Статистические возможности изучения деятельности правоохранительных органов
- § 5. Статистические возможности анализа судимости
- § 6. Статистические возможности анализа работы судов по уголовным и гражданским делам