Математика основана на синтетических априорных суждениях

Математические суждения все синтетичны. Похоже, это положение до сих пор ускользало от внимания тех, кто анализировал человеческий разум, мало того, даже противореча всем их гипотезам, положение о синтетичности бесспорно достоверно и имеет важные следствия. Когда было замечено, что умозаключения математиков дедуцируются согласно закона противоречия (как требует природа всякой аподиктической достоверности), то философы убедили себя, что исходные принципы также познаваемы на основе принципа противоречия. Однако они ошибаются, ибо синтетическое суждение можно постичь на основе принципа противоречия, но лишь в случае, если предполагается другое синтетическое суждение, из которого вытекает это, но никогда не понять из самого себя.

Сначала следует заметить, что настоящие математические суждения суть всегда априорные, а не эмпирические суждения, именно поэтому предполагают необходимость, которую нельзя получить из опыта. И если со мной не согласятся, я готов ограничиться областью чистой математики, само понятие которой предполагает, что она содержит знание не эмпирическое, а только чистое априорное знание.

829

Кажется, на первый взгляд, что положение 7 + 5 = 12 есть чисто аналитическое суждение, вытекающее из суммы 7 и 5 согласно принципу противоречия. Поразмыслив лучше, мы находим, что понятие суммы 7 и 5 не содержит ничего, кроме соединения двух чисел в одном, причем нигде не указывается, каково число, включающее слагаемые. Понятие 12 не вытекает из мысли о соединении 5 и 7. Для получения понятия 12 следует выйти за пределы исходных понятий, воспользоваться помощью интуиции, например, представить свои пять пальцев или (как это делает Зегнер в своей арифметике) пять точек, присоединить к понятию 7, беру число 7 и с помощью пальцев руки отсчитываю 5, прибавляя к этому образу число 5. Таким образом, интуитивно вижу, как возникает двенадцать. Что 5 должно быть присоединено к 7, я мыслил в понятии суммы 7+5, но тогда я не знал, что сумма равна двенадцати. Арифметическое суждение, как следует, всегда синтетично. Это становится еще очевиднее, если взять большие числа, тогда как ясно, что сколько бы мы ни крутили свои понятия, без помощи интуиции мы никогда не найдем суммы путем простой компоновки.

Таким же образом, ни одно основоположение геометрии не является аналитическим. То, что "прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками", есть синтетическое положение. Мое понятие прямой содержит в себе только признак качества и ничего о длине. Следовательно, понятие кратчайшего расстояния целиком присоединяется извне к понятию прямой линии и никаким анализом не может быть извлечено из него. Только при помощи интуиции возможен синтез. Лишь немногие геометрические положения реально аналитичны и основаны на принципе противоречия, но в качестве суждений тождества они служат только в цепочке метода, а не в основании. Например, суждения а = а (все равно себе), а + в > а (целое больше части) хотя и основаны на простых понятиях, приняты в математике только как представленные в интуиции. Двусмысленности выражений мы обязаны именованием таких суждений аналитическими. Мы должны присоединить к понятию предикат, и эта необходимость уже включена в понятия. Вопрос не в том, что именно мы должны присоединить к данному понятию, а в том, что мы думаем в реальности, путь даже неотчетливым образом. Получается, что предикат внедрен необходимым образом в понятия, однако, не в качестве чего-то концептуально мыслимого, а, скорее, как нечто интуитивное, что затем присоединится к понятию.

830